Re: Teorica cinetica e pressione come media nel tempo

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it>
Date: Thu, 27 Oct 2022 15:28:50 +0200

Il 27/10/22 12:06, Davide D'Elia ha scritto:
....
> Credo che una parte della mia difficoltà stia proprio in questa ipotesi. Se considero la temperatura, mi è chiaro che si tratta di una grandezza macroscopica descritta attraverso una media di grandezze microscopiche. Però immagino (a questo punto mi viene da dire che probabilmente ho sempre sbagliato) una media fatta sulle N particelle osservate in un certo istante. Invece per la pressione emerge esplicitamente la questione temporale. Mi sembrano due impostazioni diverse e non riesco a conciliarle.
...

Non ci sono differenze sostanziali tra temperatura e pressione dal punto
di vista della misura e neanche dal punto di vista della trattazione
cinetico-statistica, pur in presenza di differenze su diversi punti.

Cominciamo dalle misure. Termometri e barometri richiedono un
accoppiamento tra sistema e apparato di misura per tempi lunghi rispetto
al più lungo tempo di rilassamento tra quelli del sistema e quelli del
termometro. Tempi così lunghi sono assimilabili a tempi "infiniti" dal
punto di vista pratico.
Inoltre, sempre nelle misure, la regione del sistema che interagisce con
l'apparato di misura è sempre di dimensioni macroscopiche.

Questi due fatti comportano che qualsiasi teoria che vuole dar conto
delle misure deve guardare al comportamento di variabili dinamiche per
tempi molto lunghi e che coinvolgono regioni macroscopiche.

A questo punto sia la teoria cinetica, sia la meccanica statistica,
permettono di calcolare la temperatura a partire dalla media
(temporale) dell'energia cinetica per molecola, che è una somma di
contributi a un corpo (l'energia cinetica dei centri di massa di ogni
molecola). Siccome la media è un'operazione lineare e poiché ci
interessa il valore "per molecola", la quantità di interesse può essere
vista coma una media temporale di una media sulle molecole.

Per la pressione ci sono pochi cambiamenti. Quallo che interessa è la
forza media esercitata dalle molecole del sistema per unità di
superficie. Nel caso generale occorre un po' di attenzione nella scelta
dell' osservabile, ma per un gas, e in approssimazione di interazione
"per urti" tra molecole e parete, è sufficiente calcolare la media della
forza per molecola esercitata da questa sulla parete. E qui arriviamo
alla formula menzionata da Alberto Rasà.

In entrambi i casi formalmente dobbiamo calcolare un integrale su tempi
molto lunghi di funzioni del tempo. Ed è sufficiente farlo per una
molecola in quanto le quantità che ci interessano sono già "per
particella", contenendo quindi il concetto di media sulle molecole.

Qualcosa cambia in meccanica statistica dove, mediante il formalismo
degli ensemble, e per sistemi ergodici, si possono sostituire le medie
temporali con medie su tutti i microstati del sistema. Ma questo, per il
problema che hai posto, non ha rilevanza.

Secondo mela difficoltà nel caso della pressione riguarda il solo fatto
di effettuare la media temporale sul doppio dele tempo tra due
collisioni. E questo dipende da una confusione lessicale/concettuale che
porta a pensare che la media vada fatta sul tempo necessario per la
singola collisione. Invece la media è una media su tempi lunghi ed è
solo la periodicità delle collisioni prevista dal modello cinetico che
permette di semplificare alquanto riducendo la media su tempi infiniti
ad una media sul singolo periodo.

Non è una cosa immediata e ancor meno viene detta o scritta
esplicitamente, dando per scontato che sia "intuitivo" che la media
tempoerale vada fatta sul tempo tra una collisione e una nuova
collisione sull stessa parete.

Giorgio
Received on Thu Oct 27 2022 - 15:28:50 CEST