Re: Periodo di un pendolo semplice

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: 2000/06/28

Lucky Dog wrote:
>
> Salve, vorrei sapere come posso trovare il perido di oscillazione di un
> pendolo semplice quando l'angolo di oscillazione non e' piccolo; in
> particolare mi interessa come calcolare il coefficiente ''di correzione''
> rispetto alla formula classica per le piccole oscillazioni ( T = 2 Pi
> Sqrt(L/g) ) per un pendolo che si innalza di 90�.
> Il mio libro di fisica I a riguardo da' solo i primi 3 termini di una serie
> (1+Sin[theta] / 2 * 2 + ...), io ho provato a ricavare la forma generale
> della serie ma non sono sicuro che sia giusta... :-/
> A me risulterebbe coeff. = k = Somma_n=0_infinito[ ( (2n-1)!! / 2n !! )^2 *
> Sin[theta]^2n ], e' giusta?
> Usando questa risulta ad ex. per 40� k=1.137 , per 60� k=1.373, per 85�
> k=2.439
> Per 90� non sono riuscito a calcolare il valore... :-((
>
Ho provato a ri-ricavare il risultato e mi sembra che la tua formula sia
*quasi* corretta: l' argomento del seno dovrebbe essere theta/2 se theta
e' l' angolo di elongazione massima.

Comunque la strada e' quella di usare la conservazione dell' energia
(uso phi invece di theta per risparmiare tasti :-) :

m/2 L^2 phi'^2 + 2 m g L sin^2(phi/2) = E [1]

dove m e' la massa, phi l' angolo (in radianti) dalla posizione di
equilibrio stabile, ' indica la der. rispetto al tempo.

Se siamo in regime di moto oscillatorio, E = 2 m g L sin^2(phi_max/2)
dove phi_max e' la massima elongazione del pendolo.

A questo punto, tenendo presente la simmetria della traiettoria, [1]
puo' essere integrata tra t=0 e t=T/4, ovvero tra phi=0 e phi=phi_max
per dare il periodo T come integrale di una funzione di sin(phi/2):

T=(T_0/pi)integrale (tra 0 e phi_max) d phi/(sin^2(phi_max/2) - sin^2(phi/2))^(1/2)

dove T_0 e' il periodo delle piccole oscillazioni.
L' integrale a secondo membro e' un integrale ellittico di prima specie
di cui esistono tabulazioni o puo' essere valutato numericamente con la
precisione desiderata.

Un' espansione in serie in potenze di sin(phi_max/2) puo' essere ottenuta
facilmente con un cambio di variabili ( sin(phi/2)/sin(phi_max/2) = sin
z )
che trasforma l' integrale in un integrale tra 0 e pi/2 di (1-K^2 sin^2(z))^(-1/2)
con K = sin(phi_max/2). Espandendo la radice in serie di K^2 sin^2(z) ed
integrando termine a termine si ottiene l' espressione desiderata.

A phi_max = pi la serie diverge ( e' il risultato corretto: il periodo
diviene infinito). A pi/2 il periodo e' maggiore di quello delle piccole
oscillazioni di qualcosa vicino al 10%.

Ciao

Giorgio
Received on Wed Jun 28 2000 - 00:00:00 CEST