Giorgio Bibbiani ha scritto:
> Ho preparato una paginetta di spiegazione, per ragionare con scalari
> piuttosto che con vettori e semplificare allora la stesura del
> testo, ho ricavato il minimo dell'energia potenziale gravitazionale
> in funzione dell'angolo di rotazione del giogo, v.:
>
>
https://drive.google.com/file/d/1jMImNar4iFUIDoea37V2_EIxoCrObmR9/view?usp=share_link
Benissimo, così posso commentare quella.
Comincio dalla figura.
Avresti fatto bene a dire esplicitamente che nei punti (-x0,y0) e
(x0,y0) ci sono delle articolazioni, per cui il segmento sotto quei
punti resta sempre verticale, anche quando theta non è nullo.
Altrimenti l'espressione dell'en.pot.grav. si complica e in particolare
dipende da forma e posizione delle masse, anche quando queste sono
uguali in misura.
Inoltre scrivi
"La distribuzione del giogo sia tale che quando il giogo è orizzontale
allora il suo baricentro si trovi sulla verticale del fulcro F e per
semplicità non al disopra del fulcro."
In realtà il tuo calcolo va bene solo se quel baricentro *coincide* con
F. Altrimenti devi tener conto dell'en.pot.grav. del giogo.
Siano (0,yg) le coordinate del detto baricentro, m la massa del giogo.
All'en.pot.grav. va aggiunto un termine m*g*yg*cos(th) (a meno di
costanti).
L'en.pot.grav. totale è
(2*M*g*y0 + m*g*yg)*cos(th)
e l'equilibrio è stabile se e solo se
2*M*y0 + m*yg < 0.
Se tanto y0 quanto yg sono < 0 l'equilibrio è sempre stabile, quali
che siano le masse (purché non negative :-) ).
Ma se per es. fosse yg>0, si avrebbe stabilità solo se M è abbastanza
grande rispetto a m, ecc.
Aggiungo alcune considerazioni di vario carattere.
1. Per rispondere all'OP occorre mostrare che in generale *non è vero*
che quando il giogo s'inclina uno dei piatti sale e l'altro scende
*nella stessa misura*.
Implicitamente l'hai scritto.
Se th>0, il piato di destra sale di
x0*sin(th) + y0*cos(th) - y0
mentre quello di sinistra scende di
x0*sin(th) - y0*cos(th) + y0.
L'uguaglianza c'è solo se y0=0: in questo caso (dimenticando il giogo)
l'equilibrio è indifferente come pensava l'OP.
Appunto: l'OP (come in molte delle figure di cui ho parlato nell'altro
mio post) dimentica che i punti di sospensione dei piatti *non sono
alla stessa quota* del centro di oscillazione del giogo.
2. Se ci si pensa bene, la bilancia è uno strumento meraviglioso nella
sua semplicità.
Colpisce anzitutto la sua antichità: se non ricordo male ce ne sono
esempi nelle pitture egizie, ma forse la conoscevano addirittura i
sumeri.
Tutti costoro non sapevano niente di momenti di forze né di energia
potenziale, eppure (immagino per tentativi) arrivarono a capire come
doveva essere fatta una bilancia per funzionare correttamente.
Uno dei molti esempi in cui la tecnica precorse la scienza.
Anzi, sicuramente la riflessione scientifica fu motivata proprio dai
problemi posti da soluzioni tecniche: funziona, ma perché funziona?
3. Aspetti didattici.
Credo che l'approccio di GB non sia praticabile a livello liceale.
Ho consultato un Caforio-Ferilli di 16 anni fa, ma non penso che i
testi siano molto cambiati su questo argomento.
In quel testo l'equilibrio (di corpi rigidi) è trattato in due modi:
prima come annullamento di risultante e momento risultante, poi (per
il caso gravitazionale) come condizione che il baricentro non si alzi
né si abbassi per piccoli spostamenti. Col che viene poi anche data la
condizione per l'equilibrio stabile: che il baricentro non possa
abbassarsi.
L'en.pot.grav. viene introdotta più avanti, ma non è considerata per
l'equilibrio.
Ovviamente (per noi) dire baricentro è dire en.pot.grav.
Ma il limite è che nella statica sono trattati solo il punto e il
corpo rigido, mentre la bilancia *non è un corpo rigido*, ma tre corpi
tra loro incernierati.
Salvo errori nel Caforio-Ferilli di bilance non si parla.
Il metodo dei momenti mi pare più praticabile: dato che tutte le forze
sono verticali e gli assi vincolari orizzontali e tutti paralleli, non
occorre neppure il prodotto vettore: basta usare il momento come
"forza x braccio".
4. Ma per capire la bilancia occorre altro...
Nella pratica non basta chiarire l'equilibrio stabile: contano molto
- la sensibilità
- il periodo di oscillazione
- gli attriti.
Dirò solo poche parole.
I calcoli di GB considerano solo il caso di masse uguali, ma in
pratica serve sapere qual è la più piccola differenza di massa che la
bilancia riesce ad apprezzare.
Si può definire una sensibilità assoluta o relativa.
Il modo più semplice per ottenere alta sensibilità è di rendere
piccole y0 e yg, avvicinarsi quindi all'equilibrio indifferente.
Ma si creano due problemi.
Il primo è che aumenta il periodo di oscillazione, e c'è poco da fare.
Si possono ridurre tutte le masse, al prezzo però di ridurre anche la
portata.
Non a caso ci sono diverse bilance, da quella del fruttivendolo a
quella dell'orefice o del chimico...
Il secondo problema è che alta sensibilità significa aumento
dell'importanza degli attriti.
Per questo mentre la bilancia del fruttivendolo usa dei semplici ganci,
quella del chimico usa i "coltelli d'acciaio su piano di agata" :-)
Un modo per ridurre l'importanza dell'attrito è la "lettura in
oscillazione.
Non si aspetta che l'ago si fermi, ma si leggono tre posizioni
successive: destra, sinistra, destra.
Un'opportuna media cancella l'attrito al primo ordine.
5. A proposito di baricentro.
Si può capire tutto della bilancia se si sa tracciare la traiettoria
durante le oscillazioni del baricentro globale dei tre corpi rigidi
che formano la bilancia.
Ma c'è un trabocchetto: questa traiettoria *non è una circonferenza*!
Lascio la dimostrazione a chi ne ha voglia.
6. Concludo dicendo che sono un po' meno allibito :-)
Ero partito pensando che la conoscenza del funzionamento della
bilancia si dovesse richiedere a chi si muove anche poco nella fisica,
ma mi sono dovuto ricredere.
Anche se fa uso di principi di base semplici, non è affatto banale, e
fa parte dei molti argomenti che finiscono messi di parte per far
posto a cose più recenti e ritenute più importanti.
Così finisce che il "Giornale di Fisica" possa impunemente pubblicare
in copertina una figura vergognosa, che però appare tale solo a
qualche vecchio incorregibile :-(
--
Elio Fabri
Received on Sun Dec 04 2022 - 15:41:16 CET