(wrong string) � quantistica

From: dumbo <_cmass_at_tin.it>
Date: 2000/05/22

Enrico Calzavarini <calzas_at_tin.it> scritto nell'articolo
<3.0.1.32.20000520103349.00694148_at_box1.tin.it>...
>
> mi sapreste dire perch� il gravitone ( eventuale quanto del campo
> gravitazionale )dovrebbe avere spin 2 ?
>

Risposta sintetica:

" perch� la gravit� � un campo tensoriale di rango due "

Ma forse � un p� troppo sintetica, e quindi cerco di chiarirla.

Nella teoria di Maxwell giocano un ruolo centrale il
potenziale scalare phi e il potenziale vettore A (immagina
la freccia di vettore sopra A).
Con questi due potenziali costruisci i campi perch�
il campo elettrico � E = -- grad phi -- _at_ A / c e il campo
magnetico � H = rot A ; il simbolo _at_ rappresenta la derivata
parziale rispetto al tempo).

Se per� guardi le cose dal punto di vista quadridimensionale
(nello spaziotempo della relativit�) ti accorgi che in realt� non
ci sono due potenziali (uno scalare e uno con tre componenti)
ma uno solo, con quattro componenti ( che sono phi pi� le tre
componenti di A); questo "superpotenziale" � un vettore
nello spaziotempo (si trasforma come un vettore rispetto
alle trasformazioni di Lorentz), cio� un quadrivettore A ( i )
dove l'indice i varia da 1 a 4 (o se preferisci da 0 a 3).
Siccome ha un solo indice, A ( i ) si chiama anche tensore di
rango uno.

Usando lui e le sue derivate (rispetto alle coordinate spazio-
temporali) puoi costruire le equazioni di Maxwell; i termini
di sorgente, cio� la densit� di carica e le tre componenti del
vettore densit� di corrente, sono inclusi nel quadrivettore
sorgente J ( i ).
La ricetta per la costruzione �:
scrivere la lagrangiana di campo e di interazione usando
(rispettivamente) il potenziale, il potenziale unito alla sorgente;
sommare le due lagrangiane, mettere il totale nell' integrale d'azione,
variare l'integrale e annullare la variazione.
V. per es. Goldstein " Meccanica Classica " (Zanichelli) (dicono
per� che l'edizione inglese sia fatta meglio, almeno per quanto
riguarda i sistemi continui).
Si trova che la ricetta funziona e porta alle equazioni di Maxwell;
conclusione: il campo elettromagnetico (EM) pu� essere descritto
nello spaziotempo da un potenziale tensore di rango uno.

Questo fatto ci permette di dire che il quanto del campo EM,
il fotone, ha spin uno; infatti nella teoria quantistica dei campi
esiste questo teorema (dovuto a non so chi):
"se un campo pu� essere descritto nello da un potenziale tensoriale
di rango N nello spaziotempo, i quanti del campo hanno spin N" .
Nel caso EM il rango N � 1, dunque lo spin � 1.

Adesso domandiamoci: � possibile che anche il campo
gravitazionale (campo G) abbia una struttura analoga? Cio�,
che discenda da un potenziale dotato di un certo rango tensoriale?
Il procedimento che vogliamo usare � lo stesso usato per
il campo EM: usando il potenziale si costruisce la lagrangiana di
campo; usando il potenziale e il termine di sorgente si costruisce
la lagrangiana di interazione; si annulla la variazione dell'integrale
di azione e si arriva alle equazioni di campo.

Cominciamo dal caso pi� semplice cio� dal rango zero
(potenziale scalare). Dopo qualche calcolo (che tralascio)
si vede che non funziona, perch� il perielio dei pianeti ruota
in senso contrario a quello osservato e la luce non si piega nel campo
(contrariamente alle osservazioni).

Quindi: il campo G non pu� essere rappresentato da un potenziale
di rango zero.

Proviamo allora con un potenziale di rango uno, come nel caso EM.
Si vede che non pu� andare neppure cos�, perch�
(a) in questo caso il campo G sarebbe repulsivo come il campo EM
(repulsivo vuol dire che cariche dello stesso segno si respingono) mentre
noi sappiamo bene che il campo G � attrattivo (cariche dello stesso
segno si attraggono: le "cariche" gravitazionali sono ovviamente le
masse gravitazionali, che sappiamo avere tutte lo stesso segno).
Questa difficolt� nasce a causa del segno positivo dell'energia
del campo (regola generale: se l'energia del campo � positiva
il rango pari d� attrazione e il dispari repulsione. Se invece �
negativa si ha l'opposto. Per ricordarla: se si chiama positiva
l'attrazione
e negativa la repulsione, positivo il rango pari e negativo il rango
dispari, allora energia E, rango R e azione A fra le cariche si combinano
come nella regola algebrica del prodotto dei segni:

    E R A
     + + +
     + --- ---
      --- + ---
      --- --- +


Un campo a energia negativa eviterebbe la difficolt� ma ne farebbe
sorgere delle altre (instabilit� del vuoto, cio� coppie di particelle
e antiparticelle che uscirebbero a cascata dal vuoto).

In aggiunta alla difficolt� (a) ci sono due altre difficolt�:

(b) i moti planetari previsti non concordano con quelli osservati

(c) la luce non � deviata dal campo.

Quindi: niente potenziale di rango uno.

Proviamo allora con un potenziale di rango due, e speriamo bene.
Se neanche questo dovesse funzionare saremmo veramente nei
guai perch� dovremmo tentare col rango tre, e magari anche oltre,
e le cose sarebbero pazzescamente complicate, oppure si dovrebbe
provare con un campo spinoriale (detto brutalmente:con un tensore
di rango frazionario) il che sarebbe anche peggio.
Proviamo dunque con un potenziale tensore di rango due,
lo chiamiamo B( i k ) ; per rappresentare la sorgente si sceglie un
tensore T( i k ), di rango due come il potenziale (scelta obbligata se
si vuole una teoria consistente). T ( i k ) � l'analogo della
quadricorrente
elettrica J ( i ) che compare in elettromagnetismo.
A questo punto seguiamo la solita ricetta e questa volta il risultato
� consolante: le equazioni di campo che si ottengono
sono identiche alle equazioni di Einstein della relativit� generale;
poich� queste sono in ottimo accordo con le osservazioni, la
conclusione �:
il campo G si pu� descrivere con un potenziale tensore di secondo
rango ( N = 2 ). E per il teorema quantistico che ho detto
prima il quanto del campo G deve avere spin 2 .

Se ti interessano i particolari dei calcoli puoi trovarli su
Misner, Thorne & Wheeler: Gravitation (Freeman, 1973)
Ch. 7, pp 178 -- 186; credo ci sia pi� materiale su
S. Weinberg: Gravitation and Cosmology(John Wiley & Sons,
Inc. New York 1972) ma non ricordo bene come � organizzato.
Per quanto riguarda il teorema rango = spin (che � importantissimo
per rispondere alla tua domanda) purtroppo non ricordo nessuna
bibliografia.

  
Cordialmente

Corrado Massa
_cmass_at_tin.it
Received on Mon May 22 2000 - 00:00:00 CEST