Riccardo <ripulcin_at_tin.it> scritto nell'articolo
<8fuihn$b31$1_at_nslave1.tin.it>...
>
> Salve a tutti
> Vorrei sapere se qualcuno e in grado di spiegarmi il legame fra
> la forza gravitazionale di Eistain e la forza gravitazionale di Newton.
>
> Mi spiego meglio se considero una metrica generica e la linearizzo cio�
> considero lo sviluppo della metrica al primo ordine quello che ottengo
>sul piano tangente (se non mi sbaglio) � la forza di Newton
>
> Grazie
>
Riccardo
Salve. Suggerisco questo procedimento (pu� anche
non piacere per� � suggestivo).
Partiamo dalla metrica galileiana
( ds ) ^ 2 = ( c dt ) ^ 2 -- ( d q ) ^ 2 ( 1 )
dove
( d q ) ^ 2 = ( dx ) ^ 2 + ( dy ) ^ 2 + ( dz ) ^ 2 ( 2 )
Domandiamoci: come si muove una particella
(libera da forze) in uno spaziotempo di questo tipo ?
Risposta: poich� la particella � libera, � naturale supporre
che il suo moto sia una linea geodetica nello spaziotempo.
L'equazione di una geodetica si ottiene estremizzando l'integrale
Z ds (dove Z st� per integrale) cio� annullando la variazione
D Z ds. (dove D st� per delta). Scrivendo la metrica ( 1 )
nella forma equivalente
( ds ) ^ 2 = ( cdt ) ^ 2 { 1 -- (q * ) ^ 2 } ( 3 )
dove q * = dq / c dt , il moto sar� dato da
DZ c dt { 1 -- ( q * ) ^ 2 } ^ ( 1 / 2 ) = 0 ( 4 )
che scriviamo nella forma abbreviata
DZ L dt = 0 ( 5 )
dove L = dt { 1 -- ( q * ) ^ 2 } ^ ( 1 / 2 ) ( 6 )
In meccanica analitica le equazioni del tipo
DZ L (q , q* ) dt = 0 ( 7 )
sono notissime e si sa bene che portano all'equazione
di Eulero -- Lagrange
( d / dt ) _at_ L / @ ( q * ) = @ L / @ q ( 8 )
dove _at_ � il segno di derivazione parziale
Poich� la ( 5 ) grazie alla ( 6 ) � proprio del tipo ( 7 ) (manca
la dipendenza da q , tanto meglio ! ) possiamo inserire la ( 6 )
dentro la ( 8 ) e ottenere l'equazione del moto cercata
q * = costante (cio�, indipendente dal tempo);
dunque q proporzionale a t, cio� moto uniforme.
Conclusione: nello spaziotempo galileiano ( 1 ) (volgarmente
detto " piatto " ) le particelle libere non accelerano.
Adesso per� ci domandiamo (per pura curiosit�) come si
comporterebbe una particella di prova libera di muoversi in
uno spaziotempo pi� complesso, diciamo con metrica del tipo
( ds ) ^ 2 = A ( c dt ) ^ 2 + B ( dq ) ^ 2 ( 9 )
dove A e B sono funzioni delle coordinate spaziali ma (per
semplicit�) non del tempo.
Per trovare la risposta procediamo in un modo perfettamente
analogo al precedente, cio� scriviamo il ds nella forma equivalente
( ds ) ^ 2 = A ( c dt ) ^ 2 { 1 + ( B / A ) ( q * ) ^ 2 } ( 3 A )
che corrisponde alla ( 3 ).
Al posto della ( 6 ) otteniamo adesso
L = { A + B ( q * ) ^ 2 } ^ ( 1 / 2 ) ( 6 A )
e per avere il moto della particella dobbiamo introdurre
la ( 6 A ) nella ( 8 ).
Bisogna ricordare che A e B dipendono da q ma non da t
e neppure da q * (quest'ultima affermazione vuol dire che la
metrica non dipende dalla velocit� delle particelle di prova che
la esplorano). Si trova:
2Bq ** {1--B(q * ) ^ 2} = _at_A / @q + (q * ) ^ 2 @B / @q ( 7 A )
e da qui si vede subito che il moto della particella non �
uniforme, perch� il secondo membro (con A e B funzioni di q )
� in generale non nullo e quindi q** = d q* /c dt = d^2 q / (cdt) ^ 2
� diverso da zero.
Conclusione: in uno spaziotempo non galileiano la materia
in moto libero accelera (come se ci fosse un campo di forze).
In altre parole lo spaziotempo, con la sua geometria, pu�
agire come un campo di forze (capperi questa s� che � una notizia).
Ma come ci aspettiamo che agisca lo spaziotempo?
Evidentemente, ci aspettiamo che agisca indistintamente su tutte
le particelle, perch� nessuna particella pu� esistere al di fuori dello
spaziotempo. Lo spaziotempo deve quindi agire come un campo
universale di forze, e non come per es. il campo elettromagnetico
che agisce solo su certe particelle (cariche) e non su altre (neutre).
Ma l'universalit� d'azione non � proprio la caratteristica della gravit�,
che agisce allo stesso modo sui sassi e sul prosciutto? S��������!!!
E allora perch� non provare a spiegare la gravit� come effetto della
geometria?
Riccardo sei ancora l� ?
Temo di essermi allontanato un p� dalla tua domanda, ma solo
un p�. Invece di partire direttamente dalla metrica di Schwarzschild
come avrei potuto fare, cio� di presupporre tutto il formidabile
armamentario della relativit� generale senza giustificarlo in alcun modo
e poi derivare le equazioni del moto, ho preferito partire dalla relativit�
ristretta (metrica ( 1 ) ) e far vedere come una semplice e naturale sua
generalizzazione (che un matematico considererebbe subito) porti
spontaneamente, direi prendendoci per mano, all'idea centrale della
relativit� generale, che la gravit� � solo geometria dello spaziotempo.
Spero che questo modo di procedere non ti abbia disturbato. Adesso
arrivo alla tua domanda.
Cominciamo prima di tutto a semplificare la ( 7 A ); nel
caso di campi deboli (i quali imprimono alle particelle esploratrici
delle velocit� piccole rispetto a c ) q* << 1 e quindi (q*) ^ 2 <<< 1,
e siccome B , che essendo il coefficiente correttivo della metrica
spaziale � certamente molto vicino a uno (appunto perch� in un
campo debole la geometria dello spazio deve essere molto vicina
a quella euclidea che � caratterizzata da B = 1 ) la parentesi al primo
membro vale uno con ottima approssimazione mentre l'ultimo termine
del secondo membro � trascurabile rispetto al primo (ricordare che
( q * ) ^ 2 <<< 1 come ho appena detto ! )
In questa approssimazione la ( 7 A ) diventa:
q** = ( 1 / 2 ) ( 1 / B ) _at_ A / @ q ( 8 )
E siccome (ripeto) B � molto vicino a 1, abbiamo con ottima
approssimazione
q** = ( 1 / 2 ) _at_ A / @ q ( 9 )
Vogliamo l'accelerazione newtoniana, quella che dipende
dall'inverso del quadrato della distanza? Certo che la vogliamo.
Infatti siamo nell'approssimazione di campo debole, cio�
con velocit� molto minori di 1, e sappiamo che in queste condizioni
la legge di Newton funziona bene. Quindi poniamo:
q** = G M / q ^ 2 ( 10 )
dove G � la costante gravitazionale e M la massa del corpo che
genera il campo. Metti la ( 10 ) nella ( 9 ), integra, e avrai
A = 1 -- ( 2 G M / c ^ 2 ) ( 1 / q ) ( 11 )
dove la costante di integrazione � scelta in modo che
a distanza infinita da M , A sia = 1, cio� che la metrica
sia la ( 1 ) (niente gravitazione).
Adesso qualcuno mi potrebbe dire: chi vuoi prendere in giro?
la legge di Newton l'hai postulata, avresti dovuto ricavarla.
Rispondo:
la (11) porta a delle conseguenze verificabili e che sono state
effettivamente verificate (rallentamento del tempo nel campo
di gravit�, e altri effetti dei quali per� non parlo perch� sono legati
non solo ad A, ma anche a B ).
Quindi la critica non regge, e possiamo dire che l'interpretazione
geometrica della legge dell'inverso del quadrato funziona.
Viceversa: avremmo potuto dedurre il valore di A dalle equazioni di
campo di Einstein e poi tramite la ( 9 ) ottenere la legge newtoniana
( 10 ) con G M costante di integrazione. Questione di gusti.
Ti � piaciuta la mia risposta? Spero che almeno non ti abbia fatto
vomitare. Si fa quel che si pu�.
coi migliori saluti
Corrado Massa
_cmass_at_tin.it
Received on Wed May 24 2000 - 00:00:00 CEST
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