R: Tensori e gradienti...

From: Davide <aleph.infi_at_libero.it>
Date: 2000/04/28

Beh... Riguardo al tensore non ti so dire molto perch� ci sono alle prese
anch'io... Per quanto riguarda il gradiente penso che un esempio possa
essere utile... Prendi una stanza e metti un calorifero in uno spigolo.
Ignoriamo gli effetti convettivi dell'aria calda. Ci aspettiamo che nello
spigolo dove c'� il calorifero ci sia pi� caldo che non nello spigolo
opposto... e che la temperatura vari con continuit� man mano che ci sostiamo
verso lo spigolo freddo. Ora, vogliamo definire una quantit� che ci dia
un'idea dell'entit� di questa variazione. Prima di tutto dobbiamo scegliere
un punto in cui dare quest'informazione: per esempio mettiamoci nel punto
del calorifero. Spostandoci dal calorifero verso lo spigolo opposto la
temperatura diminuisce, quindi diciamo che il nostro indicatore sar�
negativo. Dobbiamo anche dare un'indicazione su quanto velocemente varia la
temperatura: potrebbe variare sempre allo stesso modo (per esempio 1� ogni
metro...) e allora mi sembra ragionevole mantenere costante anche il nostro
indicatore, potrebbe crollare ad un certo punto e allora direi di rendere
ancor pi� negativo il nostro indicatore. Potrebbe raggiungere un minimo e
crescere in una zona per poi tornare a diminuire: finch� scende manteniamo
negativo l'indicatore, quando non sale e non cresce (il minimo) mettiamolo a
zero, quando sale positivo, poi di nuovo zero quando raggiunge il massimo e
ancora negativo quando ricomincia a diminuire. Se tutto questo ti sembra
ragionevole abbiamo definito una quantit� dotata di punto di applicazione
(il calorifero), di direzione e verso (dal caldo al freddo) e di modulo
(tanto pi� negativo quanto maggiore � il raffreddamento)... In altre parole
un vettore che rende conto delle gradazioni di temperatura nella stanza...
Direi che si pu� chiamare gradiente.
Il riferimento della stanza � uno spazio tridimensionale: il gradiente, come
tutti i vettori, � allora individuato da tre componenti (che sommate con la
regola del parallelogramma ti danno appunto il vettore). Ed � naturale che
queste componenti diano conto delle variazioni della temperatura nelle tre
direzioni fondamentali: cosa c'� di meglio delle derivate per questo
scopo!?! Se chiamiamo x,y e z le direzioni abbiamo ottenuto allora che

grad (T) = (dT/dx, dT/dy, dT/dz)

Pi� in generale

grad = (d/dx, d/dy, d/dz)

(anche se la d non � corretta).
La configurazione della temperatura della stanza �, in termini pi�
matematici, un campo scalare (cio� una porzione di spazio in cui ogni punto
� dotato di un attributo numerico (cio� scalare) che lo descrive (nel caso
della temperatura il valore di temperatura)). Tutto questo lo puoi applicare
a una miriade di casi: la densit� dell'aria per esempio. E niente ti
impedisce di inventarti uno spazio a 4 dimensioni in cui il campo sar�
identificato da quattro derivate invece che tre... n dimensioni? n
componenti!
Nota che se lo spazio ha solo una dimensione (per esempio solo x, una retta)
il gradiente non � altro che la derivata come si � sempre vista al liceo!
Data una funzione (per esempio y=x^2) facciamo in tervenire il gradiente, o
derivata, e allora ci riconduciamo ad un caso che gi� conosci.

Spero di esserti stato di aiuto, almeno per capire il concetto.

Ciao.
Received on Fri Apr 28 2000 - 00:00:00 CEST