Re: Tensori e gradienti...

From: Andrea Di Simone <disimone_at_libero.it>
Date: 2000/04/17

Raffaele Tegas wrote:

> Ciao a tutti,
> chi sarebbe cos� gentile da spiegarmi cos'� un tensore?

Beh, io ci provo. Sicuramente sai cos'� un vettore: un insieme di numeri,
ordinati secondo un indice. Cio�, noi ci immaginiamo il vettore come una
freccetta, ma nulla ci vieta di dire che un vettore � qualcosa del tipo (v1,
v2, v3), con v1, v2, e v3 numeri reali che corrispondono alle componenti del
vettore lungo i tre assi. Quello che conta � che un numero in un vettore �
individuato *solo* da un indice. Ad esempio, se ti do il vettore (18, 324, 795)
e ti chiedo qual'� il secondo numero, tu mi rispondo prontamente: 324!
Chiaramente il discorso � estendibile al caso n-dimensionale (v1, v2, ....,
vn), e magari con numeri complessi invece che reali. Dopo che abbiamo imaprato
ad ordinare i numeri secondo un indice, ci accorgiamo, che questo basta ad
esempio nel caso dei vettori fisici (le freccette) ma se vogliamo rappresentare
in forma compatta altri problemi pi� complessi, di indici ce ne servono due: e
siamo arrivati alle matrici. Un esempio classico � un sistema di equazioni
lineari omogeneo in due incognite:

a*x+b*y=0
c*x+d*y=0

come ordinare i coefficienti a,b,c,d? un solo indice evidentemente non basta,
allora diamo ad ogni elemento di questa nuova cosa che ci stamo inventando (una
matrice) due indici: il primo ci dice a quale delle due equazioni ci stiamo
riferendo, il secondo a quale incognita. Se adesso ti chiedo qual'� l'elemento
2,1 tu mi rispondi c!

Ora, per venire al sodo, in fisica e in matematica capita spesso di dover
ordinare un insieme di numeri con pi� di due indici: allora si ha un tensore.
Un elemento di un tensore di ordine n � individuato nel momento in cui fornisci
gli n valori degli indici. In quest'ottica possiamo dire che un punto � un
tensore di ordine zero, un vettore � un tensore di ordine uno, una matrice � un
tensore di ordine due.

>Per� non ho capito fino
>in fondo cosa sia un gradiente: sono spiegate le operazioni, e come ci si
>lavora, ma non intravedo il significato. Sar� molto grato a chiunque abbia
>tempo da dedicarmi.
>Grazie, Raffaele

Un gradiente � un vettore, solo che � costruito in maniera particolare.
Immagina una funzione di tre numeri reali. Prendiamo pre esempio la pressione
atmosferica all'interno della stanza in cui sei mentre leggi questo post.
Dipender� in generale dalle tre componenti spaziali: diciamo P(x,y,z). Ora
diciamo che siamo interessati a sapere se questa funzione � costante in tutta
la stanza, o se varia. Supponiamo che vari. Vogliamo sapere ancora di pi�:
vogliamo sapere quanto la pressione cambia se ci muoviamo, ad esempio, lungo la
direzione x. E poi, perch� no, anche lungo y e lungo z. Visto che abbiamo tre
numeri, ognuno dei quali corrisponde ad una direzione dello spazio, questi
numeri ce li ordiniamo in un vettore. Ecco che siamo costruiti il gradiente
della nostra funzione pressione. Se hai fatto un po' di analisi, ti posso dire
che il gradiente della funzione � il vettore che ti costruisci facendo le
derivate rispetto a tutte le variabili una per una, immaginando le altre come
costanti (le cosiddette derivate parziali). Perch� tutto questo sforzo?
Immagine che il gradiente della pressione sia diverso da zero in una regione
della tua camera: ad esempio che la pressione sia maggiore alla tua destra e
minore alla tua sinistra. Allora tu sentirai un vento che tender� a portare la
pressione allo stesso valore in tutta la stanza, cio� ad annullare il gradiente
che lo genera. Questa � una cosa che accade molto spesso nella fisica, ma anche
nella chimica: quando che c'� un gradiente di una certa funzione, se il sistema
� libero di muoversi come vuole, stai certo che si muover� in modo da annullare
il gradiente.

Una saluto

Andrea.
Received on Mon Apr 17 2000 - 00:00:00 CEST