metrica di Schwarzschild e tensore di Ricci

From: Valerio Cammelli <vacamme_at_tin.it>
Date: 2000/04/19

Nello studio della GR , precisamente nel capitolo che riguarda la
metrica di Schwarzschild si trova l'espressione generale
dell'intervallo nella forma ds^2 = -e^2a dt^2 + e ^2b dr^2 +r^2
d(teta)^2 +r^2 sin^2(teta) d(fi)^2 , nel caso di spazio a simmetria
sferica . Dove a e b sono funzione di t,r . Le componenti covarianti
del tensore metrico sono g(00)=-e^2a , g(11)=e^2b , g(22) =r^2
,g(33)=r^2sin^2(teta) dove si sono sostituiti a t,r,teta,fi 0,1,2,3
si computano poi i simboli di Christoffel e quindi il tensore di
curvatura di Riemann ,bench� i calcoli siano laboriosi i risultati mi
tornano ,precisamente si ottengono i seguenti termini :

R(0101) =e^2*(b-a) [(d0^2)*b+(d0b)^2-d0a *d0 b*] +

                   + [d1*a*d1*b-(d1)^2*a-(d1a)^2]

R(0202) = -r *e^2b *d1a

R(0303) = - r*e^(-2*b)*sin^2 (teta)*d1a

R(0212) = - r *e^(-2a)* d0b

R(0313) = (-r e^-2a) *sin^2(teta) * d0b

R(1212) = (r e^-2b)* d1b

R(1313) = (r e^-2b)*sin^2(teta) *d1b

R(2323) = (1-e^-2b)*sin^2(teta)

dove il primo indice a sinistra di R � controvariante gli altri
covarianti e d0,d1 sono derivate parziali rispetto a t e
rispettivamente r
il testo � (LECTURE NOTES ON GENERAL RELATIVITY) di S. Carroll

poi cominciano i problemi :

non riesco a ricavare i componenti covarianti del tensore di Ricci
es.R(00) :

 R(00) = [ d0^2 b +(d0b)^2 -d0a d0b] + e^2(a-b)[d1^2a +(d1a)^2 - d1a
d1b +(2/r)d1a]

si dovrebbe credo prima abbassare l'indice controvariante del
tensore R(0101) CON IL TENSORE METRICO g(oi) R(i101) ma poi come si
effettua la contrazione ?

un grazie anticipato a chi mi pu� aiutare

Valerio
Received on Wed Apr 19 2000 - 00:00:00 CEST