bibbozibibbo ha scritto:
> Poniamo che misurando la lunghezza di una sbarra A trovo che le mie
> misure si distribuiscono in modo gaussiano (come DEVE avvenire, se
> faccio tante misure e uso uno strumento che misura troppo "finemente",
> tipo usare un cronometro centesimale utilizzando semplicemente i
> propri riflessi), magari ci sono in ballo anche errori sistematici ma
> non mi interessa qui, diciamo che ottengo che la sbarra ha lunghezza A
> +-a. Misuro poi una seconda sbarra e trovo che ha lunghezza B+-b. Ora
> accosto le due sbarre (supponendo che abbiano i bordi perfettamente
> lisci e che le accosto perfettamente bene). Cosa posso dire sulla
> lunghezza di questa nuova sbarra che ho creato? Posso affermare che �
> caratterizzata anch'essa da una distribuzione di probabilit�
> gaussiana?
Non esattamente: se la sbarra e' perfettamente rigida, ha una sua
lunghezza precisa, che pero' tu non conosci. Quello che puoi dire (e lo
puoi proprio dire) e' che la stimi eguale ad A+B con un'incertezza
+-sqrt(a^2+b^2).
> Se si, la sua deviazione standard e data da sqrt(a^2+b^2)?
> Se si, posso considerare tutto ci� come una giustificazione della
> procedura di somma in quadratura?
Dalla mia risposta non puoi giustificare nulla, casomai e' la mia
risposta che ha bisogno di una giustificazione :-)
Per evitare di manipolare sbarre, ti propongo un problema equivalente,
molto frequente in pratica. Vi sono tre punti sul terreno, P1,P2 e P3.
Con strumenti da geometra misuri il dislivello fra P1 e P2, trovando
A+-a, e fra P2 e P3, trovando B+-b. Puoi dire che il dislivello fra P1 e
P3 e' A+B +-sqrt(a^2+b^2)? Se le due misure effettuate sono del tutto
indipendenti si', ed e' quello che si fa normalmente quando la misura
diretta del dislivello fra P1 e P3 non sia praticamente possibile
(perche' per esempio P1, P2 e P3 si trovano lungo la curva di una galleria).
La giustificazione teorica sta nella teoria della propagazione degli
errori (googla o cercalo su Wikipedia).
Cosa accade se ora riesci ad effettuare, con una terza misura
indipendente, anche la misura diretta del dislivello fra P1 e P3?
Otterrai un terzo valore C+-c, ed in generale *non* sara' C=A+B
(devi aspettarti pero' che C cada all'interno dell'intervallo
A+B-sqrt(a^2+b^2) - A+B+sqrt(a^2+b^2). Se questo non avviene, devi
sospettare la presenza di errori grossolani e provare a ripetere tutte
le misure. Se di nuovo questo non avviene, devi sospettare la presenza
di errori sistematici, e metterti a cercarli.)
Posto z(P1)=z1=0, ti ritrovi con tre equazioni in due incognite z2 e z3:
z2 = A
z3 = C
z3-z2 = B
che non possono, in generale, essere soddisfatte da un'unica soluzione.
Con le conoscenze che hai ottenuto dalle misure, puoi cercare pero' la
loro stima piu' probabile, il che si ottiene con una compensazione ai
minimi quadrati. Googla, una buona trattazione (non so se alla tua
portata) e' qui:
http://geomatica.como.polimi.it/presentazioni/MQ.pdf
Un sottoprodotto di tale procedura e' la matrice varianza covarianza di
tutte le grandezze stimate, dalla quale si puo' ricavare l'incertezza
della stima di z3 *tenendo conto di tutte le misure effettuate*:
l'incertezza risultera' inferiore sia a c che a sqrt(a^2+b^2).
Il bello e' che *anche* per z2 e z3-z2 otterrai nuove stime, diverse da
A e da B, e le incertezze delle stime di z2, e di z3-z2, risulteranno
inferiori rispettivamente ad a e a b: la terza misura consente di
affinare le stime anche delle grandeze misurate in precedenza.
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TRu-TS
Received on Fri Jul 02 2010 - 12:35:50 CEST