Re: Esiste l'infinito?

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: 2000/04/27

alessandra wrote:
>
> Anche se sarebbe un po' filosofico, secondo voi esiste l'infinito?

Piu' che la domanda, filosofica (come contrapposto a scientifica ?)
possono essere le risposte se non ci si intende prima sul significato
dei termini. In particolare, il significato di "esistere".

> Intendo
> dire: l'universo, d'accordo, forse s�.

E questa sarebbe una domanda aperta ad una risposta sperimentale (sia
pure indiretta).

> Ma le rette, le semirette, i piani...
> (anche se � geometria), secondo voi esistono sul serio?

Qui invece siamo in un campo diverso: i concetti della matematica, pur
provenendo spesso da motivazioni empiriche, non possono trovare la loro
"giustificazione" nell' esperienza.
Non ha senso chiedersi se ci sono verifiche sperimentali del teorema di
Pitagora della geometria euclidea.
Per un matematico ha senso chiedersi invece se, una volta definito un
sistema di assiomi non contraddittori per la geometria, sia possibile o
no dimostrare il teorema mediante deduzioni logiche.

> O sono solo quei
> concetti primitivi che dobbiamo per forza prendere per veri, giacch� su
> nessun libro spiega cosa sia in realt� una retta (se non un elemento
> primitivo)?

E questo e' il punto cruciale della questione.

Da un punto di vista matematico, la geometria continua a *funzionare*
qualunque *significato* associamo alle parole "punto", "retta", "piano"
etc purche' le loro relazioni formali, cosi' come definite dagli assiomi
continuino a valere. Cosi', ad esempio, possiamo pensare alla familiare
geometria euclidea come il sistema assiomatico-deduttivo corrispondente
agli assiomi di Euclide (incluso il famigerato V postulato sulle
parallele). Un "modello" di questa geometria e' dato dagli "oggetti"
geometrici che abitualmente associamo a punti e rette, per esempio, la
somma degli angoli interni di un triangolo e' 180 gradi. Pero' possiamo
costruire facilmente un modello di geometria non euclidea se associamo a
punto il significato di punto sulla superficie di una sfera e a "retta"
i cerchi massimi sulla stessa. Otteniamo l' esempio piu' semplice di
sistema che soddisfa tutti i postulati di euclide tranne il V (per
esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo e' > 180 !).

Naturalmente e' possibile verificare sperimentalmente se, data una
associazione tra concetti della geometria e enti fisici, siano
verificati opportuni sistemi di assiomi.

Quello che voglio dire e' che, mentre non ha senso verificare la verita'
di un teorema se non dal punto di vista logico-formale, HA senso
verificare sperimentalmente se un determinato insieme di enti fisici
(regoli rigidi, raggi luminosi o altro) costituisce un modello per una
geometria o un' altra.


Fatta questa prima distinzione tra *esistenza* in senso fisico ed
*esistenza* matematica, aggiungerei che l' infinito e' comunque un
concetto "difficile".
Dal punto di vista fisico, viene spesso utilizzato solo allo scopo di
semplificare la trattazione matematico-formale.

Dal punto di vista matematico, e' un concetto che ha subito una
lunghissima evoluzione in parte centrata proprio sulla portata e
significato da attribuire alla parola "esistenza".

Se a qualcuno interessa posso recuperare qualche riferimento, ma
probabilmente la discussione a riguardo sarebbe piu' appropriata su it.scienza.matematica.

Ciao

Giorgio Pastore
Received on Thu Apr 27 2000 - 00:00:00 CEST