Re: Gradiente & Co.

From: Adriano Amaricci <amaricci_at_tiscalinet.it>
Date: 2000/04/20

Giuseppe Lupo ha scritto nel messaggio <8dm7b5$1gr$1_at_nslave2.tin.it>...
>
>SALVE !!!
>
>Vorrei avere una spiegazione qualitativa e quindi concettuale dei concetti
>di:
>Gradiente e divergenza.
>
>Grazie
>
>Giuseppe Lupo

Il gradiente merita sicuramente un approfondimento pi� ampio date le sue
innumerevoli applicazioni (non che la div. non le abbia, tutt'altro) e
quindi lo discutiamo in seguito. Innanzitutto entrambi sono degli operatori
differenziali agenti su funzioni vettoriali (sia a valori reali sia
vettoriali):
DEF.: sia f una funzione definita in R_n continua e almeno derivabile
chiamiamo "gradiente" di f, lo indichiamo con uno dei seguenti simboli: Df,
gradf, (nabla)f,..., il vettore delle derivate parziali prime df/dx_i
(ovviamente se la funzione � a valori in R_m non � un vettore ma una bella
matrice nxm).
DEF.: sia f una funzione definita in R_n a valori in R_n (campo vettoriale),
definiamo l'operarore "divergenza" di f come il prodotto scalare dell'
operatore (formale) gradiente per la funzione f stessa ovvero:
D x f = divf= Somme (i:1,..,n) df_i/dx_i = df1/dx + df2/dy +...+ dfn/dw
con x,y,...,w n variabili reali.
L' operatore div. � molto usato in fisica sopratutto in elettromagnetismo
per la trattazione dei campi elettrico e magnetico e quindi del campo
elettromagnetico infatti si possono formulare le eq.ni di Maxwell in termini
di divergenza e di rotori di questi campi, ovvero di prodotti
(rispettivamente) scalari e vettoriali dell' operatore gradiente con i
vettori rappresentativi dei campi, sia in termini locali sia in termini
integrali grazie ai teoremi della div. ed al teroema di Stokes (che in
verit� poi sono un teorema solo nella trattazione dell' integrazione su
spazi e variet� n-dimensionali ma non complichiamoci la vita), infatti si
pu� esprimere grazie a questo teroema il flusso uscente da una superficie S
come l'integrale di volume della divf ( f � la funzione vettoriale che
"fluisce") fatto sul volume che la superficie S delimita. Analogamente si
esprime la circuitazione del campo f su una curva chiusa dS (bordo di una
superficie grazie al teorema di Jordan) come il flusso del rotore di questo
campo fatto attraverso la superficie S.
Date le sue applicazioni al concetto di flusso l'applicazione alla
fluidodinamica � assolutamente immediata (io credo che proprio da l� sia
partita) anche se ammetto di non sapere in quele modo sia fatta questa
applicazione: confesso inoltre di non sapere se questi operatori siano
applicabili anche a campi tensoriali (penso di si), giro la domanda!
Passiamo al gradiente: hai visto fin da subito che in effetti entrambi gli
operatori div. e rot. di un campo f possono essere elegantemente espressi
per mezzo del solo operatore gradiente questo permette (come sempre in
fisica) una certa economia degli operatori; l'operatore gradiente viene
introdotto in analisi per estendere il concetto di derivata prima utilizzato
per le funzioni di una sola variabile ed in effetti ne � la sua ovvia
generalizzazione, le sue innumerevoli applicazioni vanno dall' utilizzo
nello sviluppo in serie di Taylor al primo ordine all' uso come base per lo
spazio Vp tangente in un punto p ad una variet� n-dim., passando per l'
espressione del differenziale totale df come prodotto scalare di Df con il
vettore incremento dx: df=(Df,dx). Come vedi di "concettuale" non � che ci
sia poi molto anche se dietro in effetti c'� una discreta quantit� di
analisi matematica, il gradiente ha solo una infinit� (numerabile :-)) di
applicazioni sia alla matematica sia alla fisica ed alle scienze in generale
(naturali ed economiche). Sicuramente il suo utilizzo pi� famoso � per
trovare i punti stazionari delle funzioni scalari e vettoriali f al quale
corrisponde in meccanica al fatto di poter trovare delle posizioni di
equilibrio (stabile o instabile sar� da definire) per un certo sistema
dinamico.

Ciao, Adriano Amaricci
Received on Thu Apr 20 2000 - 00:00:00 CEST