Re: Tensori e gradienti...

From: dumbo <_cmass_at_tin.it>
Date: 2000/04/20

Raffaele Tegas <son-raf_at_shiny.it> scritto nell'articolo
<8d9lt0$os0$1_at_fe1.cs.interbusiness.it>...
>
> Ciao a tutti,
> chi sarebbe cos� gentile da spiegarmi cos'� un tensore?
> Sono all'ultimo anno delle superiori, quindi ne so niente...
>
Ciao Raffaele. Alcuni ti hanno gi� risposto.
Io vorrei aggiungere che un tipo di tensore lo usi
gi� da molti anni senza saperlo...si chiama tensore
metrico ed � importantissimo. Ma � anche un concetto
semplice. Serve a misurare la distanza fra due punti
e anche a capire se i due punti stanno in un mondo
euclideo o non euclideo. Mi limito a due dimensioni
per non fare formule troppo lunghe.

Considera la distanza tra due punti in geometria
analitica piana

s^2 = (Dx)^2 + (Dy)^2 ( 1 )

dove s � la distanza tra due punti (che lascio al quadrato
per evitare il fastidio di scrivere il segno di radice),
Dx la differenza nelle loro ascisse e Dy la differenza nelle
loro ordinate.La notazione ^2 indica l'elevazione a quadrato.
( la ( 1 ) � sostanzialmente il teorema di Pitagora nel
linguaggio della geometria analitica, cio� delle coordinate).

La ( 1 ) vale quando adoperi coordinate ortogonali, cio� due
assi che si incrociano a novanta gradi.
Per� si possono usare sistemi diversi, per esempio
coordinate oblique, nel qual caso la formula della
distanza �

s^2 = (Dx)^2 + (Dy)^2 + 2 Dx Dy cos a ( 2 )

dove a � l'angolo fra gli assi coordinati (nel caso particolare
a = 90� ottieni nuovamente l'espressione ( 1 ) ).

Un altro sistema (tra gli infiniti possibili) � quello delle coordinate
polari x e y ( che normalmente sono indicate rispettivamente
con le lettere greche rho e theta); in questo caso la distanza
s tra due punti � data da

s^2 = (D x )^2 + x ^2 (D y) ^2 ( 3 )


Fin qui eravamo sul piano. Adesso passiamo a una superficie
curva, per esempio quella di una sfera. Come sistema di
coordinate possiamo prendere le linee di latitudine e di
longitudine, e la distanza tra due punti sar� data da
                                              
s^2 = (D x)^2 + (cos x) ^2 (D y ) ^2 ( 4 )

dove x = latitudine, y = longitudine.
(La formula funziona con tanto migliore approssimazione,
quanto pi� i punti sono vicini tra loro, ossia quanto
pi� Dx e Dy sono piccoli; quindi � meglio considerare
i D come differenze infinitesime, questo comunque non
ha molta importanza per quello che voglio dirti, � solo
una precisazione che aggiungo per non fare innervosire
qualche matematico che magari ci legge).

Si vede a colpo d'occhio che queste formule pur nella
loro diversit� hanno qualcosa in comune: coinvolgono
le differenze delle coordinate (i termini D) e questi
o sono al quadrato, oppure sono moltiplicati tra loro
(cio�, hai D^2 o D D , mai un D isolato alla prima potenza,
e mai delle potenze di D superiori alla seconda).
Questo tratto comune ci permette di riassumerle tutte
nella formula generale

s^2 = A (Dx)^2 + 2 B (Dx)(Dy) + C (D y)^2 ( 5 )

Se metti A = 1, B = 0, C = 1, ottieni la ( 1 ).

Se metti A = 1, B = cos a, C = 1, ottieni la ( 2 ).

Se metti A = 1, B = 0, C = x ^ 2 , ottieni la ( 3 ).

Se metti A = 1, B = 0, C = (cosx) ^ 2 , ottieni la ( 4 ).

Eccoci al dunque: A, B, e C sono le componenti del
tensore metrico (dal greco metron = misura, perch�
serve a misurare la distanza tra due punti).
Per comodit� si usa scriverle in forma di matrice

|| A B ||
|| || (chiaramente quadrata e simmetrica).
|| B C ||

e cos� le si pu� abbracciare tutte con una sola occhiata.
Questa matrice � il tensore metrico. Passando da un
sistema di coordinate all'altro le sue componenti come
hai visto cambiano (in gergo si dice " si trasformano " ).
La legge di trasformazione � la stessa per tutti i tensori
ed � proprio questo uno dei modi (non l'unico) in cui si pu�
definire un tensore: attraverso la legge di trasformazione
delle sue componenti al cambiare del sistema di coordinate
(una matrice � un tensore se obbedisce a questa legge di
trasformazione, altrimenti no).

Ora c'� un punto MOLTO importante. Considera la ( 1 ),
la ( 2 ) e la ( 3 ). E poi considera la ( 4 ).
C'� una differenza fondamentale tra i primi tre casi e l'ultimo.
Nei primi tre eravamo sempre sul piano, nell'ultimo siamo su una
sfera. Quindi passando alla ( 4 ) non ci siamo limitati a
un cambiamento di coordinate, abbiamo fatto un cambiamento
molto pi� drastico: abbiamo cambiato tipo di superficie!
Cio� abbiamo cambiato geometria (da euclidea a non euclidea).
Una formica che cammina su un piano se ne infischia se intorno
a lei cambia il sistema di coordinate, perch� tanto il piano resta
piano e la sua vita (piuttosto piatta) resta sempre la stessa.
Ma se la mettiamo su una sfera, cammina e cammina sempre
diritto (pensa lei) ed ecco che si trova al punto di partenza.
La formica � sbalordita: capisce di essere in un altro mondo!
Un mondo non euclideo.
Ebbene, questa informazione fondamentale � incamerata nel tensore
metrico. Se infili gli A, B e C del caso ( 1 ) in una espressione
matematica che Riemann ha scoperto nel milleottocentocinquanta-
erotti ( e che non ti scrivo qui) troverai che questa espressione
si annulla; e lo stesso nei casi ( 2 ) e ( 3 ). Se invece ci metti dentro
gli A,B e C del caso ( 4 ) (caso non euclideo) l'espressione di Riemann
NON si annulla !
Ecco allora: i primi tre casi pur avendo tutti tensore metrico diverso,
sono accomunati dal fatto di riferirsi tutti a uno stesso tipo di
superficie; la formula di Riemann se ne accorge, non si lascia
ingannare dalle differenze e coglie subito questo tratto comune:
dice con voce tonante "Ehi, voi, siete tutti e tre tensori metrici
di una superficie piatta, e se mi venite addosso io mi annullo".
Ma nel quarto caso dice " tu no, perbacco, tu sei un tensore
metrico di una superficie curva, e allora io non mi annullo".
L'espressione di Riemann che (in base al tensore metrico)
permette di capire se siamo in un mondo euclideo o no,
� a sua volta un tensore, ma molto pi� complesso del tensore
metrico. Per raffigurarlo una matrice quadrata non � sufficiente.

OK ! Concludo: la relativit� generale dice che la gravitazione
� nient'altro che geometria (curvatura dello spazio tempo) e quindi
� chiaro che il tensore metrico, cos� importante in geometria,
� importante anche in fisica (per studiare la geometria dello
spazio tempo e quindi la gravitazione). E siccome lo spaziotempo
ha quattro dimensioni, il tensore metrico sar� rappresentato da una
matrice quattro per quattro; per� il concetto resta lo stesso.
Come vedi hai sempre usato il tensore metrico senza
saperlo: ogni volta che calcolavi la distanza fra due punti !

Ora penso vi conosciate meglio: Raffaele, questo � il tensore
metrico; tensore metrico, questo � Raffaele. Lietissimo :- )

Ciao !

Corrado Massa

_cmass_at_tin.it







  
Received on Thu Apr 20 2000 - 00:00:00 CEST