Re: chiarimenti sulla rinormalizzazione

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/04/04

Laura wrote:

> ciao
> studio fisica e sto seguendo un corso sulla teoria quantistica dei campi.
> nelle ultime lezioni abbiamo visto la rinormalizzazione (in particolare per
> una
> teoria \phi^4) e non ne ho tanto capito il significato fisico.
> spero in un vostro aiuto
> grazie
>
> Laura

Ciao, e' una questione molto spinosa. Il fatto e' che la teoria dei campi
quantistica e' affetta da divergenze (per lo piu' dovute a piccole distanze,
ma non solo) appena consideri diagrammi con almeno un loop.
La ragione profonda di cio' secondo me non la conosce nessuno.
E' stato escogitato un metodo che permette di usare comunque la
teoria perturbativa ammaestrando le divergenze: questa tecnica si chiama
(anzi sono piu' di una tecnica) rinormalizzazione.
E' stato provato che certe teorie, quelle dette "rinormalizzabili" (come phi^4

che forse pero' e' banale cioe' rinormalizzata coincide con la teoria libera
o
l'elettrodinamica o le teorie di Yang-Mills ecc...) in cui la conoscenza
di un numero finito di parametri "resi finiti a forza" consente di calcolare
tutte
le altre quantita' es. ampiezze arbitrarie di transizione).
Mi spiego meglio. Per le teorie rinormalizzabili, TUTTE le divergenze
sono dovute alla divergenza di un numero finito di parametri.
Allora grosso modo si procede cosi': si sviluppa il calcolo lasciando
incogniti i valori di tali parametri e evitando le divergenze mettendo
per esempio dei cut-off negli integrali. Arrivati in fondo al calcolo si
tolgono
i cut-off e si mettono i valori infiniti dei parametri (massa, carica ecc...)
avendo cura di fare uccidere reciprocamente le divergenze e si sostituiscono
i valori FINITI e misurati sperimentalemente dei parametri nella parte finita
che rimane dall'annullamento delle divergenze (oo - oo non e' 0 ma qualsiasi
numero!).
Nelle teorie non rinormalizzabili, le costanti da aggiustre sono infinite:
ad ogni passo dello sviluppo perturbativo salta fuori una costante nuova
da "rinormalizzare" per cui, anche mettendo a mano i valori misurati
di tali costanti, ci vorrebbero infinite misure per poter prevedere con il
calcolo
perturbativo una sola grandezza come un'ampiezza di diffusione, e la teoria
non sarebbe piu' predittiva.

Il brutto e' che anche dopo aver rinormalizzato una serie perturbativa,
cioe' dopo aver reso finiti "a mano" tutti i termini della serie, la serie
stessa diverge molto spesso (per esempio Dyson ha provato questo negli
anni '50 per l'elettromagnetismo). Quindi anche le serie rinormalizzate
sono problematiche. Si puo' provare che sono serie "asintotiche"
in alcuni parametri, nel senso che approssimano la grandezza da
calcolare tanto piu' sono piccoli tali parametri rispetto all'ordine
fino al quale si somma, ma la somma diverge. Se il parametro e' fissato
(per esempio nell'elettrodinamica il parametro e' la costante di struttura
fine
~ 1/137) la serie fornisce buoni risultati fino ad un certo ordine di somma
poi "esplode". Nell'elettrodinamica mi pare che l'ordine sia sul 10:
devi sommane i contributi di diagrammi corrispiondenti all'ordine 10
(se non sbaglio) nella costante di struttura fine, per apprezzare
una discordanza dai risultati sperimentali. Il rapporto giromagnetico
dell'elttrone calcolato con la rinormalizzazione ha fornito un risultato
coincidente con quello sperimentale fino ad un numero spropositato
di cifre dopo la virgola (e' un numero puro): il calcolo
considera ancora un numero troppo piccolo di termini per apprezzare
differenze dal risultato sperimentale, ma se si continuasse a sommare
il risultato teorico divergerebbe.
La cosa interessante e' che la serie divergente dell'elettrodinamica
porta comunque, forse, TUTTE le informazioni sulle grandezze che
approssima: esistono delle procedure di "risommazione" di tale serie
che permettono di tirare fuori un risultato finito (es. risommazione
di Borel). Altre teorie come TUTTE le teorie di gauge non abeliane
hanno invece la caratteristica opposta: si riesce a provare che la
serie perturbativa non puo' tenere conto completamente del sistema...
(cio' e' dovuto alla presenza di "istantoni", ma non voglio entrare
nei dettagli qui.)

Spero che questo sproloquio ti sia servito a chiariti le idee,

ciao, Valter
Received on Tue Apr 04 2000 - 00:00:00 CEST