Re: Achille e Tartaruga 2 - la vendetta -

From: JTS <pireddag_at_outlook.it>
Date: Tue, 20 Dec 2022 22:59:44 +0100

On 20.12.22 19:42, El Filibustero wrote:
> On Tue, 20 Dec 2022 11:19:22 +0100, El Filibustero wrote:
>
>> Se l'elastico ha una distribuzione di costante elastica k(x) per x in
>> [0..L] e questa costante e'... costante nel tempo, la velocita' di
>> scorrimento n(t,x) all'istante t nel punto x, quando l'estremo L viene
>> trainato con velocita' costante V, dovrebbe essere SE&O
>>
>> n(t,x) := V * integrale{du=0..x*L/(L+Vt)} 1/k(u) /
>> integrale{du=0..L} 1/k(u)
>
> Non e' cosi', e' un po' piu' complesso. Consideriamo la funzione w che
> rappresenta la velocita' del punto x dell'elastico alla partenza,
> quando l'estremo L e' trainato a velocita' V:
>
> w: [0..L]-->[0..V] : x --> V*int{du=0..x}1/k(u) / int{du=0..L}1/k(u)
>
> essendo crescente, e' bijettiva; sia w^-1 la sua inversa.


Mi ero bloccato qui---senza scrivere la w^-1 ma avevo visto che nei miei
calcoli pareva entrarci.

> Ora, n(t,x)
> -- ossia l'espressione da mettere nell'equazione differenziale
> s'(t) = v + n(t,s(t)) -- e' la soluzione dell'equazione
>
> x = t*n(t,x) + w^-1(n(t,x)).
>

A questa non c'ero arrivato. Però non ho ancora chiaro come si dimostra
che s(t) è illimitata; non lo ho capito dal tuo messaggio (forse non ho
pensato abbastanza alle conseguenze di "a v si sommano velocita'
vieppiu' grandi".

Il ragionamento che ho in mente.
Nel caso discreto la tartaruga fa passi lunghi uno su un elastico che
diventa lungo L*n (la velocità della tartaruga e quella di Achille
possono essere scelte a piacere senza perdita di generalità). Questo non
dipende da come si deforma l'elastico, quindi la tartaruga raggiunge
sempre Achille.
Nel caso continuo questo pare equivalente a mostrare che l'integrale di
v/(L + V * t) diverge. "Purtroppo" mi è venuta in mente una ragione per
cui non è così, solo che non me la ricordo, e finché non me la ricordo e
mi convinco che la ragione non va bene, non mi fido più del ragionamento :-)
Received on Tue Dec 20 2022 - 22:59:44 CET