Re: Achille e Tartaruga 2 - la vendetta -

From: El Filibustero <spalland_at_gmail.com>
Date: Tue, 20 Dec 2022 19:42:08 +0100

On Tue, 20 Dec 2022 11:19:22 +0100, El Filibustero wrote:

>Se l'elastico ha una distribuzione di costante elastica k(x) per x in
>[0..L] e questa costante e'... costante nel tempo, la velocita' di
>scorrimento n(t,x) all'istante t nel punto x, quando l'estremo L viene
>trainato con velocita' costante V, dovrebbe essere SE&O
>
>n(t,x) := V * integrale{du=0..x*L/(L+Vt)} 1/k(u) /
> integrale{du=0..L} 1/k(u)

Non e' cosi', e' un po' piu' complesso. Consideriamo la funzione w che
rappresenta la velocita' del punto x dell'elastico alla partenza,
quando l'estremo L e' trainato a velocita' V:

w: [0..L]-->[0..V] : x --> V*int{du=0..x}1/k(u) / int{du=0..L}1/k(u)

essendo crescente, e' bijettiva; sia w^-1 la sua inversa. Ora, n(t,x)
-- ossia l'espressione da mettere nell'equazione differenziale
s'(t) = v + n(t,s(t)) -- e' la soluzione dell'equazione

x = t*n(t,x) + w^-1(n(t,x)).

Esempi.

Elastico omogeneo. k(x)=1 per ogni x in [0..L]. Si ha w(z)=z*V/L,
w^-1(z)=z*L/V e quindi l'equazione di n(t,x) e'

x = t*n(t,x) + n(t,x) * L/V

per cui n(t,x) = V*x/(L+Vt), come nel precedente post

Elastico con k(x):=1/x, idealmente rigido all'origine, vieppiu'
morbido verso l'estremo trainato. w(zz)=V*zz/(LL),
w^-1(z)=L*sqrt(z/V),

x = t*n(t,x) + L*sqrt(n(t,x)/V)

per cui n(t,x) = (2Vxt + LL - L*sqrt(4Vxt+LL))/(2Vtt)

>>Vale lo stesso la conclusione che la tartuca raggiunge Achille in
>>ogni caso?
>
>si' perche' a v si sommano velocita' vieppiu' grandi, qualitativamente
>lo stesso che nel caso discreto. Ciao

Credo che -- nonostante questa precisazione -- nella sostanza non
cambi nulla. La tartuca raggiunge Achille qualunque sia k(x). Ciao
Received on Tue Dec 20 2022 - 19:42:08 CET