tensore metrico nella metrica ROBERTSON-WALKER

From: dumbo <_cmass_at_tin.it>
Date: 2000/03/26

 Valerio Cammelli il 22 marzo 2000 scrive:
> nello studio della GR e in particolare della metrica
> ROBERTSON-WALKER ci si imbatte nel tensore
> di RIEMANN tridimensionale P ( i j k l ) =
> = K ( gamma ( i k ) gamma ( j l ) - gamma
> ( i l ) gamma ( k j ) ) dove gamma � il tensore
> metrico tridimensionale, tale equazione � giustificata
> in base alle propriet� di isotropia dello spazio, il
> LANDAU (pag. 466 ) non d� dimostrazione, probabilmente
> � cos� evidente...io per� non riesco a dimostrarlo.
> C'� qualcuno che mi pu� aiutare ? Grazie.

Prego.
Caro Valerio, il Landau � famoso per essere un testo
eccellente ma in certi punti terribilmente conciso.
Ho trovato una dimostrazione esauriente e limpida
come il cristallo sul classico della fisica matematica
B. Finzi, M. Pastori, (brevemente F P)
Calcolo Tensoriale e Applicazioni,
Zanichelli 1979, capitolo 7 (geometria degli spazi di
Riemann) parag. 6 (variet� isotrope), pag 271.
Quanto dice si applica a una variet� riemanniana con
numero n qualunque di dimensioni, e quindi anche al
nostro caso tridimensionale.
Scriviamo l'espressione pi� generale possibile per un
tensore quadruplo isotropo (cio� un tensore quadruplo
le cui caratteristiche non dipendono dalla direzione),

T (ijhk) = A a (ij) a (hk) + B a (ik)a (jh) + C a (ih) a (kj) (1)

dove a (ik) � il tensore metrico e A,B,C sono scalari
arbitrarii (in generale funzioni delle coordinate).
Un esempio (fuori dalla relativit�) di tensori di questo
tipo � il tensore elastico dei corpi isotropi - legato alla
legge di Hook - e a cui F P dedica un paragrafo nel
nono capitolo.
F P non d� la dimostrazione della (1) ma credo si
possa dedurre da quanto dice nel cap. 2, parag. 4 ,
dove introduce i tensori isotropi.

In uno spazio isotropo il tensore di curvatura R (ijkh)
� evidentemente un tensore isotropo e quindi ha la forma

R(ijhk) = A a(ij)a(hk) + B a(ik)a(jh) + C a(ih)a(kj) ( 2 )
 
Adesso scriviamo le identit�

R(iiii) = 0 ( 3 )

R(iijj) = 0 ( 4 )

R(iijh) = 0 ( 5 )

R(ijhh) = 0 ( 6 )


che derivano dalle propriet� di simmetria del tensore
di Riemann (attenzione ! NON si deve sommare sugli
indici ripetuti: uso sempre e dovunque solo indici
covarianti).
 
Da ( 3 ) e ( 2 ) si trova subito

a(ii)^2 ( A + B + C ) = 0 ( 7 )

e affinch� questa sia vera in generale deve essere

A + B + C = 0 ( 8 )

abbiamo fatto cos� il primo passo per trovare A,B,C.

Da ( 4 ) e ( 2 ) si trova


A a(ii)a(jj) + (B + C) a(ij) ^ 2 = 0 ( 9 )


A questo punto si v� a rotta di collo,
perch� da ( 9 ) e ( 8 ) si trova


A ( a(ii) a(jj) -- a(ij) ^ 2 ) = 0 ( 10 )


mentre da ( 5 ) e ( 2 ) abbiamo

              
A a (ii) a (jh) + (B + C) a(ij) a (ih) = 0 (11)


da (11) e ( 8 ) si ha


A ( a(ii) a (jh) -- a (ij) a (ih) ) = 0 ( 12 )


PAUSA per riposare la vista.


Ripreso fiato, andiamo alla ( 6 ) prendiamola
gentilmente per mano (gentilmente, perch�
non si rompa qualche indice) e introduciamola
nella ( 2 ). Avremo:

A a (ij) a (hh) + ( B + C ) a (ih) a (jh) = 0 ( 13 )


Da questa e dalla ( 8 ) troviamo

A ( a (ij) a (hh) -- a (ih) a (jh ) ) = 0 ( 14 )
                  

E ora il TRIONFO FINALE :

Da ( 10 ) ( 12 ) e ( 14 ) si ottiene

A = 0 ( 15 )

In caso contrario, tutti i minori di secondo ordine
di det a (ik) che figurano in ( 10 ) ( 12 ) e ( 14 )
sarebbero nulli e quindi sarebbe nullo det a(ik)
il che non pu� essere perch� la metrica non deve
essere singolare. Ulteriori, pignoleschi dettagli
sono nella nota 2 a pag 273 del F P,
Ma cosa otteniamo da ( 15 ) e ( 8 ) ? Otteniamo
questa meraviglia:

B = -- C ( 16 )

che insieme alla ( 2 ) tra squilli di trombe e acclamazioni
di folle porta alla formula cercata

R (ijhk ) = B (( a(ik) a (jh) -- a (ih) a (kj ) ))

Ti ho trascritto (nella sostanza) la dimostrazione del
F P nel caso tu non avessi il libro a portata d'occhio.

Ciao !
Corrado



  


 








            










                   
Received on Sun Mar 26 2000 - 00:00:00 CET