Re: Subject: Re: Cos'e' la temperatura?

From: Giovanni Rana <fraggy_at_libero.it>
Date: 2000/03/25

Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it> wrote in message
38D65827.A8760850_at_science.unitn.it...
>
>
>
> Giovanni Rana wrote:
>
> > Ma una funzione continua ,
> > definita in un intervallo, ivi iniettiva, � invertibile, e dunque, per
> > un teorema sulle funzioni (reali) continue in intervalli ed ivi
invertibili,
> > monotona: allora si torna alla fine all'ipotesi di monotonia che avevi
> > scartato.
> >
>
> Ciao, non lo sapevo,
> come si dimostra che se una funzione da R in R e' continua e
> iniettiva allora e' monotona?
> Non serve qualcosa di piu' nelle ipotesi?

Non ci vogliono altre ipotesi, oltre quelle che ho fatto, e cio� che f da R
in R sia continua in X intervallo di R e ivi iniettiva. Ti riporto la
dimostrazione:
Poich� f � iniettiva in X, allora esiste l'inversa di f, definita inY=f(X):
anche se non serve direttamente nella dimostrazione, osservo che
Y � anch'esso un intervallo, poich� una funzione continua definita
in un intervallo ha per codominio un intervallo. Ci� appurato, inizo
a far vedere che dato [a,b] contenuto in X, f � ivi monotona
 strettamente. Poich� f � iniettiva , risulta f(a)<>f(b), p. es. f(a)<f(b).
Sia x_0 appartenente ad [a,b]: deve essere f(a)<f(x_0)<f(b).
Difatti se per esempio ho f(x_0)<f(a), allora poich� una funzione
continua in un compatto assume tutti i valori compresi fra quelli assunti
negli estremi, dovrei avere, considerando i due compatti I1=[a,x_0] e
 I2= [x_0,b], che detto h un reale tale che f(x_0)< l <f(a), esistono
un punto interno di I1 ed un punto interno di I2 in cui f � uguale ad h,
ma ci� fa a botte con l'invertibilit�.
Siano allora x_1 ed x_2 punti di [a,b] con x_1 < x_2, per quanto visto �
f(a)<f(x_2)<f(b) e , poich� a < x_1 < x_2, concludo che f(a)<f(x_1)<f(x_2),
perch� posso rifare, per x_1 ed [a, x_2], lo stesso discorso fatto per x_0 e
[a,b]. Dunque f � strettamente crescente in [a,b] < X. Per l'arbitrariet� di
a e b, deduco che presi x'<x'' a piacere in X, � f(x')<f(x''), cio� f �
strettamente monotona in X.
Se inizialmente supponevo f(a)>f(b), avrei avuto che f era strettamente
decrescente in X.
Ciao
Received on Sat Mar 25 2000 - 00:00:00 CET