Re: Piccolo problema di Meccanica Statistica

From: Claudio <rofalorn_at_tin.it>
Date: 2000/03/20

Desidero fare delle precisazioni su quanto ho scritto prima, altrimenti il
discorso pu� risultare non del tutto chiaro:

> Beh..., per la precisione, la costruzione andrebbe leggermente modificata:
> il calcolo di W deve tener conto della degenerazione sui livelli
energetici:
> n i,1 con energia E i ; n i,2 con energia E i,........n i, i+1 con energia
E
> i....
> cio� (somma da h=0 a g(i) di n i,k * g(i) ) particelle con energia Ei...
>
> Poi: � stato assunto che le particelle sono distinguibili. Ogni dominio di
> energia E i contiene (i+1) celle; credo che non si debbano distinguere le
> configurazioni ottenute permutando le particelle all'interno della cella,
e
> vero? e all'interno del dominio? (credo che all'interno del dominio si
> debbano invece distinguere)

Nella costruzione "alla Boltzmann" si ha:
Wa = N! / (n1! * n2! * n3 !....) dove compare la produttoria di ni!
per i=0...infinito
Questo numero rappresenta i modi con cui si possono disporre n1 particelle
nel dominio E1, n2 particelle nel dominio E2,.........
A questo livello di complessione, sono equivalenti le configurazioni (fanno
parte della stessa complessione) che si ottengono permutando le particelle
all'interno del dominio.....
Quello che per� si deve fare, secondo me, per risolvere il problema, �
introdurre un livello di complessione pi� "fine": le configurazioni
equivalenti sono solo quelle che si ottengono permutando le particelle
dentro le celle;
in formula, considerando il dominio i-esimo di energia Ei con ni particelle,
il numero di modi con cui si possono disporre n i,1 particelle nella cella
1; n i,2 particelle nella cella 2;...... n i,i+1 particelle nella cella i+1
�:
Wi = ni! / (n i,1 ! * n i,2 ! * ...... * n i,i+1 !) dove compare la
produttoria di n i,k ! per k=1...i+1
E quindi il punto centrale del ragionamento di Boltzmann, applicato ad una
struttura contenente la degenerazione sui livelli energetici, porta il
numero di complessioni del sistema a:

W= Wa * W1 * W2 * W3 *.....

dato che la sola Wa non distingue i modi in cui le particelle contenute nei
domini sono ripartite tra le celle.

Si ha, poi, per fare i conti W = n! / produttoria i=0..infinito
(produttoria k=1 a g(i) n i,k ! ) )

I conti tornano e ritorvo la Z come la avevo definita prima e si trova anche
le stesse formule per S,U in funzione della Z.
La costruzione procede trovando l'insieme degli n i,k per il quale ln (W) �
massimo usando l'approssimazione di Stirling e il metodo dei moltiplicatori
di Lagrange.

Mi sembrerebbe, quindi, che la descrizione microcanonica porti al risultato
giusto.
Questa costruzione � propria dell'insieme microcanonico ?
L'approssimazione di Stirling (valida per n>>1 e per n i,k >>1) pu� creare
dei problemi o tutto alla fine torna "magicamente" anche per se non � vero
che n i,k >>1 ?

Ciao Claudio
Received on Mon Mar 20 2000 - 00:00:00 CET