Re: tensore Metrico nella metrica ROBERTSON-WALKER

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/03/23

Valerio Cammelli wrote:

> Nello studio della GR ed in particolare della metrica
> ROBERTSON-WALKER ci si imbatte nel tensore di RIEMANN
> tridimensionale P (ijkl) =K(gamma(ik)*gamma(jl)-gamma(il)*gamma(jk))
> dove gamma � il tensore metrico tridimensionale ,tale equazione �
> giustificata in base alle propieta' di isotropia dello spazio, Il
> LANDAU (pag.466) non da dimostrazione , probabilmente e' cosi
> evidente.. io pero' non riesco a dimostrarlo.
> C'� qualcuno che mi puo' aiutare ?
> grazie

Ciao, non e' proprio banale. Purtroppo non ho tempo per dirti i
dettagli. Ti dico l'idea della dimostrazione.

1) considera la curvatura sezionale nella sezione spaziale dello
spaziotempo ( e d'ora in poi mi riferiro' solo a tale varieta').
Dato che vale l'isotropia, scegliendo un punto fissato p dello spazio,
la curvatura sezionale K non dipende dal piano che scegli (invarianza
sotto rotazioni se scegli coordiante normali in p e quindi un base
ortonormale nello spazio tangente a p) e vale K=(p,t).
dove t e' il tempo che etichetta gli spazi.
C'e' un teorema che si prova facilmente usando le proprieta'
di simmetria del tensore di Riemann che dice che se hai due
metriche su una varieta' e le curvature sezionali in un punto coincidono

per ogni scelta del piano allora anche i tensori di Riemann coincidono
in quel punto.
A questo punto e' immediato che varra'
(dove gamma = gamma (p,t) e non lo scrivo),

 P (ijkl)(p,t) =K(p,t) (gamma(ik)*gamma(jl)-gamma(il)*gamma(jk))

2) Resta da provare che K dipende in realta' solo da t e non da p.
L'isotropia implica che esiste un gruppo di isometrie della metrica
gamma che
lasciano invariato p, in particolare ci sara' un'isometria che agendo
sui vettori applicati in p manda v in -v.

Se consideri la derivata covariante (nelle variabili spaziali rispetto
alla
metrica gamma) di P (ijkl): nabla_m P (ijkl) |_p
questa deve essere mandata dall'isometria di cui sopra, in

nabla_m P (ijkl) |_p stessa perche' la trasformazione e' appunto
una isomtria, d'altra parte deve anche essere mandata in

-nabla_m P (ijkl) |_p

perche' la trasformazione cambia segno ai vettori.
In definitiva, per ogni p:

nabla_m P (ijkl) |_p=0

Puoi ora contrarre il primo membro con due tensori
metrici (inversi) gamma, tenendo conto che la connessione
e' metrica, cioe' le derivate dei tensori metrici e dei loro inversi
sono nulle. In particolare ottienei che

nabla_m P|_p

dove P e' lo scalare di curvatura.
A questo punto e' facile provare che P e' proporzionale
con un coefficiente che non dipende dal posto, a K.
Di conseguenza K non dipende da p.

In definitiva

P (ijkl) =K(gamma(ik)*gamma(jl)-gamma(il)*gamma(jk))

dove K non dipende dal posto (ma puo'dipendere dal tempo).

Ciao, Valter
Received on Thu Mar 23 2000 - 00:00:00 CET