Re: Sul formalismo di Dirac

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/02/29

Subatomic wrote:

> Qualcuno sarebbe cosi gentile da darmi spiegazioni sulla seguente questione?
>
> nel formalismo di Dirac della MQ � nota "l'asimmetria" tra vettori kets e
> vettori bras, cio� la mancanza di isomorfismo
> tra lo spazio degli stati ed il suo spazio duale.

Calmo calmo! il duale (topologico) su uno spazio di Hilbert e' CANONICAMENTE
(anti)-isomorfo allo spazio stesso, quindi probabilmente stai usando il
concetto di "duale"
in un altro modo. Se H e' uno spazio di Hilbert su C, il suo duale topologico
e' dato dai funzionali lineari continui da H in C. Il teorema di Riesz prova
che TUTTI gli elementi
del duale hanno la forma

F = (f, ) dove f e' arbitrario in H ma determinato univocamente da F

e ( , ) e' il prodotto scalare di su H antilineare a sinistra.

Quindi H ed il suo duale topologico (nella topologia metrica di H) sono
canonicamente
anti isomorfi (anti e' riferito alla coniugazione), tramite l'anti isomorfismo

f |-> (f, )

scritto dai fisici

|f> |-> <f|

> Tale asimmetria dovrebbe
> essere dovuta a quanto ne ho capito al fatto che non ragioniamo sullo spazio
> hilbertiano L^2 (che � isomorfo con il suo duale) ma su un sottospazio.
> Per rimediare a questo si introducono dei vettori generalizzati la cui unica
> propriet� (pur rappresentando funzioni a quadrato non integrabile!,i.e.
> norma infinita) � di dare vita a prodotti scalari finiti con vettori kets.

Ho capito. In realta' tu stai parlando di duale in un altro senso.

Allora, a te interessano quelli che si chiamano "stati impropri" o vettori
generalizzati.
Questi stati sono il duale dello spazio delle funzioni infinitamente
differenziabili a decrescenza rap�da (la spazio di Schwarz): prendi lo spazio
di Hilbert H=L^2(R) o R^n.Considera la varieta' lineare S densa in H nella
topologia di H individuata dalle funzioni infinitamente differenziabili che
tendono a zero all'infinito uniformemente e
piu' rapidamente di ogni potenza di |x|. Questo e' lo spazio di Scwarz.

Considera ora il "duale nel senso delle distribuzioni di Schwarz" di S lineare,
cioe'
prendi i funzionali lineari f da S in C tali che se {f_n}_n e' una successione
in
S che |x|^k D^p f_n converge uniformente a 0 per n -> +oo per ogni fissato k
e p
naturali, allora F(f_n) -> 0 per n->0.
(Si puo' far vedere che questa convergenza e' quella rispetto ad una topologia
indotta da una classe di seminorme su S...)
Indichiamo con S' l'insieme di tali F.

S' e' il duale nel senso distribuzionale alla Schwarz di S.

I funzionali F di S' sono detti "distribuzioni di Schwarz" e includono le
funzioni
liscie a crescita polinomiale, ma anche cose come la delta di Dirac.

Si puo' mostrare che S' include ed e' molto piu' grande del duale Hilbertiano
di S.
Questo duale topologico hilbertiano coincide con il duale di H e quindi
coincide con
(e' anti isomorfo ad) H stesso.

L'azione di F di S' su f* (complesso coniugato di f) che e' in S se f e' in S,
viene formalmente interpretata come un prodotto scalare e si definisce:

<F| f> := ( F(f*) )*

la coniugazione * aggiunta serve a farte quadrare i conti con l'antilinearita'
in F
e la linearita' in f. In realta' quello di sopra NON e' un prodotto scalare!!!


Quando si studia lo spettro di un operatore A autoaggiunto su S o che e'
essenzialmente autoaggiunto su S e che ammette S come spazio invariante, si
definiscono gli autovettori generalizzati F_e come quegli elementi di S' tali
che

esistye un e in R tale che <F_e | Af > = e <F_e | Af > per ogni f di S (1)

che *formalmente* si scrive, tenendo conto che A e' "formalmente autoaggiunto
per cui si "puo portare a sinistra nel prodotto scalare"

"A |F_e> = e |F_e>"

ma il vero significato e' quello della (1).

E' possibile provare che gli elementi e soddisfacenti la (1) costituiscono
davvero
tutto e solo lo spettro di A (o della sua estensione autoaggiunta), e se F_e
e' in
H, il valore e e' nello spettro puntuale.


>
> Detto questo..qualcuno mi saprebbe proporre una argomentazione semplice per
> dimostrare che "aggiungendo" TUTTI i vettori generalizzati "riottengo"
> l'isomorfismo tra i 2 spazi ???

No, e' esattamente il contrario, gli autovettori generalizzati in generale NON
sono
nel duale Hilbertiiano di S (che e' poi quello di H ed e' H stesso)!





> Oppure si tratta solo di un escamotage per
> mettere dentro onde piane e delta di Dirac per un problema di "conti" ???
>

E' in un certo senso un escamotage, perche si deve uscire dallo spazio di
Hilbert
e gli stati impropri non sono stati quantistici ma solo idealizzazioni
matematiche
che in pratica NON esistono (gli stati quantistici, almeno NON in teoria dei
campi
sono dati dai vettori (in senso proprio) di H spazio di Hilbert separabile
(meglio
dai "raggi" di tali vettori, ma la cosa non cambia). In ogni caso tale
escamotage
si puo' rigorizzare dal punto di vista matematico ed e' utile nei calcoli dei
fisici.





>
> Ringrazio anticipatamente e mi scuso per la semplicit� della domanda!

Come vedi non era affato banale la questione: Schwarz ci mise una decina d'anni

per arrivare a formalizzare quanto sopra per la delta di Dirac inventando le
distribuzioni.

Ciao, Valter
Received on Tue Feb 29 2000 - 00:00:00 CET