Re: R: Spinori

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/02/29

Riccardo wrote:

> Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it> wrote in message
> 38B255D4.996EC8C2_at_science.unitn.it...
>
> > Se vuoi avere informazioni piu' dettagliate puoi chiedermele, ma dovrei
> > entrare
> > in dettagli matematici riguardanti le rappresentazioni del gruppo SU(2)
> > e SL(2,C)
> > Ciao, Valter
> >
> Dal punto di vista puramente matematico ci sono, quello che non riesco a
> capire � se l'esistenza dello spinore � dovuta al fatto che SL(2,C) ricopre
> il gruppo di lorentz con due fogli oppure che la rappresantazione
> irriducibile di SU(2,C) con dimensione minima � 2 ( quella di dimensione 1
> essendo quella banale )

E' la seconda che hai detto!
Se vuoi rappresentare le rotazioni tramite operatori unitari, i 3 generatori
dei sotto
gruppi ad un parametro che generano le rotazioni attorno agli assi determinano
una
particolare algebra di Lie rispetto al commutatore (quella dei generatori
delle rotazioni!).

La rappresentazione di dimensione piu' piccola (nel senso di dimensione dello
spazio
su cui agisce) su cui possono agire questi sottogruppi ad un parametro,
generati da
operatori autoagiunti con l'algebra delle rotazioni, e' appunto 2, cioe' lo
spazio piu'
piccolo possibile e' C^2.

Quindi se una particella ha una "struttura interna" (lo spin) su cui "possono
agire le rotazioni", la piu' piccola possibile deve essere rappresentabile in
uno spazio di Hilbert isomorfo a C^2.

A questo punto noti che

L^2(R^3) tensor C^2 e' isomorfo a L^2(R^3) sommadiretta L^2(R^3)

ed hai che la "funzione d'onda" psi(x) deve avere al minimo *due* componenti
(psi_1(x), psi_2(x))

Questo e' lo spinore non relativistico. Quello relativistico si estende in
modo
semplice passando dal gruppo delle rotazioni o aquello di Lorentz che lo
contiene
e anche qui si vede che la dimensione minima e' sempre 2 (includendo *tutta*
l'algebra
di Lie del gruppo di Lorentz).

Poi c'e' il fatto che in realta' l'algebra di Lie delle rotazioni e' anche
l'algebra di Lie
di SU(2) (e vale una cosa simile per il gruppo di Lorentz e SL(2,C)) ed SU(2)
e'
determinato univocamente (al contrario di S0(3)) dalle relazioni di
commutazione:
e' l'unico gruppo di lie semplicemente connesso con l'algebra di lie delle
rotazioni,
allora e' naturale assulmere che il "vero" gruppo che si rappresenta non sia
SO(3),
ma SU(2) che e' il suo rivestimento universale. E questo introduce il problema
della
fase che appare dopo 2pi di rotazione se lo spin e' semiintero..

D'altra parte, noi non ci rendiamo conto se una particella e' stata ruotata di
2pi o 4pi,
da cio' scatta una regola di superselezione per cui il momento angolare di
una particella
puo' assumere solo valori interi oppure solo valori semi interi altrimenti
avremmo
delle fasi relative osservabili, proprio perche' relative, dopo una rotazione
di 2pi di una particella... ma questo lo dovresti sapere.


Ciao, Valter
Received on Tue Feb 29 2000 - 00:00:00 CET