Domanda su distribuzioni di probabilita'
Salve.
Ho sempre saputo che per avere una stima della deviazione standard
su m eventi occorre fare la radice quadrata di m, ed entro +-m la
probabilita' e' 68,3% , entro +-2m e' 95,5% circa , ecc. (integrale
della Gaussiana tra sigma e -sigma, oppure tra 2sigma e -2sigma...)
Oggi pero' ho voluto andare a guardare un po' meglio e mi sono accorto
che in realta' la sigma e' piu' stretta della radice quadrata:
almeno cosi' mi e' sembrato di capire.
Facciamo un esempio: lanciamo 1000 la classica monetina testa/croce,
la media delle uscite del segno testa e' 500, e la sigma dovrebbe
essere radice di 500, cioe' 22.4 circa .
In realta' il fenomeno e' descritto dalla distribuzione di Bernoulli,
che ha media m = n*p (numero di prove per probabilita' del singolo
evento)
ed ha sigma = radice di n*p*q (dove q e' semplicemente 1-p ).
Poiche p=1/2, su 1000 prove la media e' 500 ma la deviazione standard
e' radice di 1000*(1/2)*(1/2) cioe' radice di 250 e non di 500!
Quindi sigma e' solo 15,8 circa! E poiche' n e' elevato, la Bernoulliana
e' praticamente una Gaussiana, e quindi nell'intervallo +-sigma ci
stanno effettivamente il 68.3% dei casi.
E' tutto corretto?
Mi sembra anche di capire che la sigma tende alla semplice radice
quadrata
di m solo se p e' molto bassa, ovvero se q tende ad uno: allora radice
di n*p*q tende a radice di n*p cioe' a radice di m . (Distribuz. di
Poisson).
Per esempio questo e' quasi vero per sapere quante volte uscira' un
certo numero al lotto su molti colpi. Infatti p= 1/18 = 0,0555556 ,
q = 17/18 = 0,9444444 . Su mille colpi, la media e' 1000/18 = 55,56 ,
e la deviazione standard e' radice di (55,56 * 0,9444444) , che stavolta
e' effettivamente vicina a radice di m... Viene 7,2 (mentre radice di m
sarebbe 7,5) .
Anche qui e' tutto corretto? Quindi il 68,3% dei casi rientra entro
il range 55,56 +- 7,2 .
Nota: affinche' la Bernoulliana sia approssimabile con una Gaussiana,
mi hanno insegnato che n*p deve essere almeno 5, quindi nel caos
del lotto si dovrebbero avere almeno un centinaio di colpi
(in realta' 90... perche' 90*1/18 fa appunto 5).
In tal caso si possono usare gli integrali tabulati della Gaussiana.
E' vero anche questo?
Grazie.
Diego
scientia_at_technologist.com
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Received on Sun Feb 20 2000 - 00:00:00 CET