Re: propagazione nel vuoto (continua)

From: Valter Moretti <moretti_at_alpha.science.unitn.it>
Date: 2000/01/06

Elio Fabri ha scritto:

>Valter Moretti ha scritto:
>> Sinceramente non capisco quasi nulla di questa discussione.
>Valter, come succede spesso, mi hai tolto la parola di bocca ;-)

 Bentornato Elio! (non immagini quante volte me la hai tolta tu, in piu`
 arrivando molto piu` lontano di dove sarei arrivato io...)

>A dire il vero Feynman avrebbe detto diversamente.
>Non se hai mai letto i suoi lavori del '49 (quelli che gli hanno
>fruttato il Nobel). Io li ho letti quando facevo la tesi, e li ho
>riletti molto dopo (capendoli meglio, credo...).
>Pero' F. non era certo il tipo da preoccuparsi troppo del rigore
>matematico, e percio' nel seguito non insistero' su questo punto.

  Ho letto solo il primo dei lavori di F. su queste cose, ma come tu sai
io sono un po` maniacale sulla Matematica e non ho molto senso fisico (infatti
ormai sono diventato quasi un "vero" Matematico [vedi fondo]])

 Ecco i miei personali commenti e le personali risposte a quello che
chiedi,purtroppo saro` molto tecnico e quasi nessuno mi capira`.
Chiedo perdono in anticipo, ma le questioni che solleva Elio sono davvero
tecniche. (Chi non capisce nulla di quanto dico tenga presente che io
non capisco nulla di tantissime altre cose... e salti pure in fondo per
gli auguri di buon 2000 dove vi dedico una poesia!)

(lungo taglio allo scritto di Elio)

>Purtroppo esiste un teorema di Haag che in sostanza asserisce (spero di
>non descriverlo male) che i (ragionevolissimi) assiomi di Wightman
>possono essere soddisfatti solo da campi liberi, e che quindi la
>descrizione nello spazio di Fock *non esiste* per una teoria con
>interazione.
>Nessuna meraviglia che i calcoli perturbativi diano grane: non e' dovuto
>al fatto che le costanti di accoppiamento siano piu' o meno grandi, ma
>al fatto che le grandezza che si vorrebbero calcolare semplicemente non
>esistono.
>Qui piu' o meno ero arrivato io (a parte il discorso delle rotture
>spontanee, ovvero non unicita' del vuoto, ovvero rappr. non equivalenti,
>che lascio da parte). Mi piacerebbe sapere che cosa e' successo dopo.
>Perche' d'altra parte e' un fatto che almeno l'elettrod. funziona, e non
>e' certo la rinormalizzazione che ci salva, perche' conunque la serie
>perturbativa non converge. (Una convergenza asintotica non serve
>assolutamente a nulla in questo contesto!)


 Non sono completamente d`accordo sulla causa delle divergenze in termini
 del teorema di Haag. Ora cerco di spiegarmi.
 Allora, anche io non ho sotto mano libri, per cui non posso controllare
 (sono a casa con l`influenza) pero` mi pare che il teorema di Haag dica
 cose un po` piu` deboli. L`enunciato non me lo ricordo con precisione
 (ricordo bene pero` che l`ipotesi forte non e` l`invarianza sotto
 Poincare`dello stato di vuoto, ma solo quella traslazionale!).
 Un corollario del teorema
 di Haag dice che la teoria libera e quella interagente non possono essere
 descritte "nello stesso spazio di Hilbert" (tecnicamente non sono
 "unitariamente equivalenti" ). Dal punto di vista puramente matematico, la
 questione puo` essere gestita con formalizzazioni matematiche superiori
 ampliando la definizione di stato quantistico e usando teorie che coinvolgono
 "piu` spazi di Hilbert contemporaneamente", si tratta, come ben noto agli
 addetti ai lavori, della formalizzazione mediante C*-algebre e teorema
 GNS.
 Tuttavia dal punto di vista dei calcoli (ai quali Feynman teneva tanto;-))
 delle sezioni d`urto e roba simile, queste formalizzazioni aiutano ben
 poco.
 Tornando al corollario del teorema di Haag, la prima conseguenza che
 viene fuori e` che la "rappresentazione d`interazione", che e` quella che si
 usa per tirare fuori i diagrammi di Feynman, e` matematicamente mal
 definita quando uno vuole fare i calcoli: essa praticamente
 presupporrebbe la coesistenza del vuoto libero e di quello interagente
 nello stesso spazio di Hilbert, e questo e` impossibile. La scappatoia e`
 l`uso diretto ed unico della descrizione di Heisenberg e del solo stato di
 vuoto della teoria interagente.
 Questo e` stato reso possibile grazie al "formalismo LSZ" (ed alla
 condizione di "completezza asintotica") che descrive tutta la teoria
 (anche perturbativa) nello spazio di Fock della teoria con l`interazione,
 senza fare riferimento al vuoto della teoria libera. Tuttavia i diagrammi di
 Feynman vengono fuori esattamente come nella teoria ingenua e tutto cio` non
 ha risolto alcun problema di infiniti sia dei singoli termini delle serie
 perturbative, sia della divergenza delle serie rinormalizzate (che spesso
 sono solo asintotiche). Quindi anche il teorema di Haag non e` la "vera
 causa" delle divergenze secondo me o almeno non e` l`unica causa.

 Forse i veri problemi sono davvero quelli che dicono gli "stringaioli"
;-).
 La teoria dei campi e` mal definita ad alte energie (a volte anche a
 basse) cioe` a piccole distanze, e ci sono le divergenze solo perche` e`
 una teoria SBAGLIATA a quelle scale, e a quelle scale il mondo e` diverso: si
 "vedono" dimensioni in piu` delle nostre solite 4 e la fisica e` descritta
 dalla teoria delle stringhe/brane o superstringhe e affini (per metterci
 dentro anche la gravita`) di cui la teoria dei campi, inclusa la teoria
 della relativita` generale e` solo una buona approssimazione a basse energie.
 Io ho solo il "feeling" che, per ora, queste teorie introducano piu`
 problemi di quelli che pretendano di risolvere. Ma molto probabilmente mi
 sbaglio.

 Il vero problema e` che per ora (un "ora" molto lungo) non si possono
 fare esperimenti
 in questo campo perche` non ci sono macchine (acceleratori) che possano
 raggiungere le energie in questione (ci vorrebbebro acceleratori grandi
 come il sistema solare). Pero` mi hanno spiegato che entro pochi anni si
 potranno verificare o falsificare conseguenze indirette (in particolare
 l`esistenza di partiecelle supersimmetriche e la violazione della legge di
 Newton Gravitazionale su scale micrometriche...). A quel punto si gridera`
 vittoria
 (oppure, se i risultati saranno negativi, secondo il mio modesto punto di
 vista, si aggiungera` un nuovo epiciclo perche` secondo me al momento
 l`unico vero principio, che la ricerca di punta delle alte energie segue
 con devozione, e` il "principio di autorita`"...)

(taglio)

>Ora torniamo a quello che ci interessa. Se la serie perturbativa e'
>asintotica, cio' vuol dire che si otterranno risultati migliori
>riducendo la costante di accoppiamento (che gioca il ruolo di z). Ma
>purtroppo la costante e' quella che e': non possiamo inventarci una
>successione di QED, progressivamente con costanti di struttura fina
>sempre piu' piccole, per avere approssimazioni migliori!
>Se mi serve il momento magn. anomalo dell'elettrone con 10 cifre, la
>serie perturbativa di QED me lo da'; ma se mi servisse con 20 cifre?
>(non bisogna mettere limiti all'ingegno degli sperimentali ;-) )


 Ci sono alcuni commenti che vorrei fare.

1) Avendo una serie asintotica, ci sono teoremi che, fissato un preciso
   valore del parametro di sviluppo (es. il valore misurato della costante
   di struttura fine nella QED) permettono di dire, con quel valore del
   parametro, fino a quale ordine di somma la serie fornisce risultati che
   non si discostano troppo dal valore reale della grandezza che approssimano.
   Nella qed mi pare che l`ordine sia 100 (ma dovrei controllare), cioe`
   dobbiamo considerare diagrammi con 100 vertici per cominciare a scostarci
   dai risultati ottenibili sperimentalmente, e questo spiega l`incredibile
   accordo tra i risultati teorici e quelli sperimentali sul rapporto
   giromagnetico dell`elettrone malgrado la serie sia solo asintotica.

2) Sotto certe ipotesi, la serie asintotica puo` essere "risommata" e
fornire ESATTAMENTE la funzione che si vuole approssimare (purche` ci si
restringa in un certo dominio di funzioni): esistono almeno due teoremi (di
Watson e di Sokal) che assicurano cio`. La serie della QED ricade in
questa classe, per cui, malgrado diverga, forse (se le funzioni che si vogliono
studiare ricadono nelle classi di sopra), porta comunque *tutte* le
informazioni fisiche della teoria. Questi teoremi non valgono in situazioni
importanti, cioe` in TUTTE le teorie di gauge NON abeliane (a causa della
presenza
dei cosiddetti "istantoni" dovuti al "vuoto CLASSICO degenere"). La QCD
purtroppo ricade in pieno in questo caso!

3) Da qualche anno e` noto (sotto forma di congettura piu` o meno provata
in certi sensi: la "congettura di Maldacena" [allievo di Witten credo]),
che le (certe?) teorie di gauge non abeliane sono "corrispondenti" ad alte
energie (nel senso che esiste una uguaglianza numerica tra calcoli di processi
corrispondenti) dove la teoria perturbativa non dice nulla, a teorie
conformi fatte sul bordo all`infinito dello spazio di Anti-de-Sitter
(il suo rivestimento universale in realta`) in 5D studiate a "basse energie"
dove si possono fare calcoli perturbativi. Ormai il 90% della ricerca in alte
energie e` su questo campo. Questo risultato si e` ottenuto dalla teoria delle
stringhe cercando di spiegare statisticamente l`entropia dei buchi
neri, ma da quello che ho capito e` indipendente da entrambi i campi.

(lungo taglio)

>Qui avrei una domanda: mi pare di capire che quando parli di campi in
>uno spazio-tempo non piatto, la metrica e' data a priori, non e'
>modificata dalla presenza dei campi.
>Se e' cosi', si aggiungerebbe un ulteriore problema se si volesse essere
>coerenti, e ricordare che anche i campi modificano la metrica...
>Dico bene?

Si, quello di cui parli e` il problema della "back recation".


>Inoltre: dato tutto quanto precede, che cosa esattamente e' una QFT in
>uno spazio-tempo curvo?

E` una teoria per principio approssimata: si assume che esiste un campo
gravitazionale descritto dalla RG e si costruisce sopra una teoria dei
campi
quantistica (altri campi + gravitone linearizzato) piu` o meno come nello
spaziotempo classico, partendo da uno stato di vuoto scelto con qualche
criterio
per esempio invarianza sotto un certo gruppo di isometrie. Dico subito che
in generale non c`e` un unico stato possibile e che le teorie fatte su
stati di vuoto diversi non sono quasi mai unitariamente equivalenti, per
cui si deve lavorare con C* algebre e l`analogo del teorema GNS
(dimostrato da B.S. Kay e R. M. Wald nel 91) per fare le cose per bene. Il
concetto di particella non si prende nemmeno in considerazione o meglio se
ne usano definizioni piu` deboli basate su gruppi di simmetrie piu`
piccoli. E si scoprono molte stranezze
come il teorema di Sewell-Bisognano-Wichmann dove si prova che il vuoto di
Minkowski e` uno stato termico (pieno di particelle) per un osservatore
uniformemente accelerato nello spazio di Minkowski. Questo risultato e` in
realta` molto generale e ci sono alcuni teoremi che valgono per
spaziotempo con orizzonte degli eventi di Killing biforcato
(Haag-Narnhofer-Stern,Hessling,Sewll,Kay-Wald), in cui si prova che
esistono solo certi stati regolari in tali ambienti e che per certi
osservatori sono visti come stati termici (per la varieta` di Kruskal lo
stato regolare e` quello di Hartle-Hawking che e` visto come uno stato
termico [radiazione di Hawking] per osservatori infinitamente lontani dal
buco nero che quantizzano "come se fossero" nello spazio di Minkowski).
Nel 96 io e poi S.Steidl ed io nel 97 abbiamo esteso alcune di questi
risultati a casi di varieta` con orizzonte di Killing non biforcato (buchi
neri estremi per esempio) mostrando che al contrario di quanto diceva
Hawking, la loro temperatura ovvero quella degli stati naturali dei campi
intorno ad essi, e` esattamente nulla (gli articoli sono su
Class.Quant.Grav.)

Per i motivi detti sopra, nella teoria dei campi in spaziotempo curvo si
lavora praticamente solo con quantita` locali come il valore mediato sul
campo del tensore energia impulso in un evento per un determinato stato
quantistico di campo. Quest`ultimo e` la sorgente gravitazionale per la
back reaction di cui sopra. Gia` a livello di teoria libera (in questo
ambito si dice teoria "quasi-libera") ci sono dei problemi di
rinormalizzazione delle quantita` locali perche` il normal ordering non
ha piu` senso in generale (e` riferito pesantemente ad uno stato di vuoto
assoluto che non esiste). Esiste una teoria assiomatica (pero` un po`
troppo debole) della rinormalizzazione del tensore energia impulso dovuta
a R. M. Wald e alcune teorie pratiche (per fare i conti) che rispettano i
suoi assiomi.
Dato che e` o forse dovrei dire e` stato il mio campo di ricerca, aggiungo
qualcosa riguardo ad alcuni dei miei contributi. Io ho lavorato in questo
campo (rinormalizzazione del tensore energia impulso) in pratica,
estendendo, una procedura basata sulla teoria zeta di Riemann (che gia`
Hawking aveva usato per l`azione effettiva). Piu` di recente ho provato
l`equivalenza di tale approccio con quello del point-splitting di Wald ed
altri dandone una versione improved di quest`ultimo. Ed ho provato alcune
congetture matematiche riguardo a tutti questi argomenti, in particolare
mi sono occupato di definire ed usare la "rotazione
di Wick" nello spaziotempo curvo (quasi tutto quanto ho detto e`
pubblicato o in pubblicazione su Phys Rev D, Commun Math Phys e J. Math
Phys).

Una cosa interessante e` che in tutti i casi noti (per es. usando il mio
appproccio basato sulla funzione zeta lo abbiamo provato anche per il buco
nero BTZ in 3 dimensioni), quando si calcola la back-reaction dovuta ad un
campo quantistico, in uno spaziotempo con una singolarita` nuda si crea un
orizzonte degli eventi che la scherma! Questo fa pensare che il "principio
di censura cosmica" sia di origine quantistica, ma non esiste una prova
generale. Inoltre i tensori energia impulso quantistici (cioe` valori medi
quantistici locali dell`operatore tensore E-I) violano quasi tutte le
condizioni di positivita` del tensore energia impulso della materia
richiesti in RG. Per esempio nel caso della radiazione termica emessa da
un buco nero, questa e` possibile perche` nello stato quantistico di
materia attorno al buco nero, c`e` una regione dell`ordine della lunghezza
di Planck dove il tensore energia impulso viola la dominant energy
condition (viola anche le altre due) e il flusso di energia impulso
rispetto al vettore di Killing temporale di Schwarzschild attorno
all`orizzonte degli eventi diventa un quadrivettore di tipo spazio! Ecco
perche` esce qualcosa dal buco nero, perche` quello che esce viola la
causalita`!
 
 Vabbe` mi fermo qui.

Vorrei dedicare a tutto il NG la presente "poesia" per buon augurio di un
nuovo millennio. Come vedrete si tratta di una parodia tratta dal film
Blade Runner, dalle ultime parole del "replicante" Roy Batty, liberamente
adattate alla mia attuale carriera :-)

  "I`ve seen things you Physicists wouldn`t believe true:
  Electric devices on fire off low-energy laboratories.

  I watched the Super Symmetry glitters in the dark near the
  Physics-library gate...

  All those events will be lost in spacetime...
  like toner in laser printers.

  Time to become a Mathematician"


 

  Ciao a Tutti, Valter Moretti
Received on Thu Jan 06 2000 - 00:00:00 CET