Re: operatore hamiltoniano

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/12/20

Agrippina wrote:
>
> Mi baso sulla risposta di un caro amico!
> Si' e' vero.
> Un operatore e'hermitiano quando e'simmetrico, per essere autoaggiunto
> deve anche essere definito su un dominio uguale a quello del suo aggiunto.
> E'' una distinzione abbastanza fine, ma ci sono esempi in cui
> e'importante, per esempio il momento su un dominio limitato tipo
> intervallo o una semiretta.

 Ciao, no non e' cosi'. Speravo che andaste alleggervi la discussione su
 it.scienza.matematica, ma visto che contiunuate tutti a dire cose un
 po' a casaccio (:-) ) ecco un rapidissimo sunto di come stanno le
 cose.

 Nell'ordine, si ha per un operatore lineare A :D(A) -> H dove
 H e' spazio di Hilbert e D(A) e' sottospazio
 non necessariamente chiuso di H.

hermitiano<= simmetrico<= essenzialemnte autoaggiunto<= autoaggiunto.
  
 
 hermitiano significa che (Af,g) = (f,Ag) per f,g in D(a)

 A simmetrico significa che A e'hermitiano ed inoltre D(a) e' denso in
 H.

 Se A ha dominio denso allora si puo' definire [in modo complicato,
 senza teorema di Riesz in generale] l'aggiunto A* definito su D(A*)
 (che non e' necessariamente denso) e differisce da D(A) in generale
 (e' piu' grande di D(A) se A e' simmetrico).
 
 A con dominio denso e' detto autoaggiunto sse A=A* (ovvero sse
 A e' simmetrico e D(A) = D(A*))

 A simmetrico e' detto essenzialmente autoaggiunto sse esiste A** e
 coincide con A*. In questo caso si puo' provare che A* e' l'unica
 estensione autoaggiunta di A. Questa estensione coincide con la
 chiusura di A stesso.

 Se inizialmente si aveva gia' D(A) = H e A era limitato, allora tutte
 le definizioni date sono equivalenti, cioe' le frecce di sopra si
 possono anche invertire e l'aggiunto si puo' definire con il teorema di
 Riesz.

 In Meccanica quantistica gli operatori che rappresentano osservabili
 su spazi L^2(R^n) o simili definiti su domini opportuni (in generale
 le funzioni C infinito a supporto compatto o cose simili con
 eventualmente condizioni al contorno se i domini hanno bordo)
 sono ESSENZIALMENTE autoaggiunti.

 Ciao a tutti, Valter Moretti
Received on Mon Dec 20 1999 - 00:00:00 CET