Re: propagazione nel vuoto (continua)

From: Elio Fabri <mcq8827_at_mcqlink.it>
Date: 1999/12/26

Valter Moretti ha scritto:
> Sinceramente non capisco quasi nulla di questa discussione.
Valter, come succede spesso, mi hai tolto la parola di bocca ;-)

> Cosa e' una particella virtuale? Non si osserva *per principio*!
> perche' non e' un oggetto fisico: viola leggi di conservazione, puo'
> avere massa negativa ecc... Per ora e' solo un oggetto matematico che
> esce fuori da una interpretazione di certi utili disegnini inventati da
> Feynman che rappresentano termini di una serie la cui sola somma
> puo' avere, in certi casi, significato.
A dire il vero Feynman avrebbe detto diversamente.
Non se hai mai letto i suoi lavori del '49 (quelli che gli hanno
fruttato il Nobel). Io li ho letti quando facevo la tesi, e li ho
riletti molto dopo (capendoli meglio, credo...).
In quei lavori, ma anche in molti scritti successivi, F. ha sempre
difeso il punto di vista delle eq. integrali come primario, con la serie
perturbativa vista come soluzione iterativa di queste.
Pero' F. non era certo il tipo da preoccuparsi troppo del rigore
matematico, e percio' nel seguito non insistero' su questo punto. Mi
mettero' anzi, per quanto ne sono capace, dal punto di vista di una QFT
"ortodossa".
Ho scritto "per quanto ne sono capace" perche' sono parecchio
arrugginito: si tratta di cose che non coltivo piu' da circa 30 anni,
per cui non solo non so che cosa e' successo di recente, ma non sono
affatto sicuro di ricordare bene quello che sapevo allora (e non posso
mettermi a ristudiarlo :( ).
Se dunque scrivero' cose imprecise, o anche decisamente sbagliate, non
solo chiedo di essere scusato, ma approfittero' dell'occasione per
imparare da chi ne sa di piu'.
Fatta questa doverosa premessa, cominciamo...
Con un'ultima avvertenza: la prima parte di quello che scrivero' sara'
piuttosto oscuro a chi non sia del mestiere. Ma verso la fine tornero'
coi piedi per terra; per cui chi si accorge di non capire niente vada
piu' avanti, invece di chiudere del tutto :-).

Quello che dice Valter su divergenze, rinormalizzazione, serie
perturbativa, e' sacrosanto e non c'e' niente che io potrei dire meglio.
Mi sembra che manchi solo una cosa, dove vorrei lumi circa quello che si
sa oggi: mi riferisco alle *cause* di tutte queste grane matematiche.

L'idea di base della QFT e' piu' o meno questa: prendiamo dei campi, per
i quali definiamo delle regole di commutazione (ispirandoci alla
semplice m.q.) e una legge di evoluzione (in forma lagrangiana o
hamiltoniana, poco importa).
Se si tratta di campi liberi, ossia senza interazione, tutto fila liscio
(sorvolando su problemi risolvibili, come quelli causati dalle masse
nulle nella quantizzazione del campo e.m.).
Si ottiene alla fine uno spazio di Hilbert i cui vettori sono stati del
campo, tra i quali il vuoto (ci torno dopo) e una serie di altri stati
con numero definito di particelle (lo spazio di Fock). Su questo spazio
di H. sono definiti gli operatori di campo (non in modo semplice:
operatori i cui valori medi sono distribuzioni, ma sono solo difficolta'
tecniche alle quali si puo' dare una soluzione matematicamente
ineccepibile).

Si puo' dire la cosa in questo modo: gli operatori di campo formano
un'algebra (ristretta dalle relazioni di commutazione postulate) e
quella trovata e' una "rappresentazione" di quest'algebra.
A tutto questo si puo' dare in particolare la forma dell'assiomatica
alla Wightman che non e' il caso di riportare qui. Sono importanti
alcune ipotesi, di cui parlero' dopo, e il "teorema di ricostruzione",
che asserisce appunto l'esistenza della rappresentazione che dicevo
sopra.

Ora vediamo che cosa producono le interazioni. Da un punto di vista
"ingenuo" la presenza di un'interazione cambiera' soltanto la forma
dell'hamiltoniana o della lagrangiana della teoria, ma non dovrebbe
alterare il resto della struttura. Una diversa lagrangiana significhera'
una diversa "evoluzione temporale", com'e' ovvio: per es. la presenza di
sezioni d'urto di scattering finite (non nulle), ecc.

Purtroppo esiste un teorema di Haag che in sostanza asserisce (spero di
non descriverlo male) che i (ragionevolissimi) assiomi di Wightman
possono essere soddisfatti solo da campi liberi, e che quindi la
descrizione nello spazio di Fock *non esiste* per una teoria con
interazione.
Nessuna meraviglia che i calcoli perturbativi diano grane: non e' dovuto
al fatto che le costanti di accoppiamento siano piu' o meno grandi, ma
al fatto che le grandezza che si vorrebbero calcolare semplicemente non
esistono.

Qui piu' o meno ero arrivato io (a parte il discorso delle rotture
spontanee, ovvero non unicita' del vuoto, ovvero rappr. non equivalenti,
che lascio da parte). Mi piacerebbe sapere che cosa e' successo dopo.
Perche' d'altra parte e' un fatto che almeno l'elettrod. funziona, e non
e' certo la rinormalizzazione che ci salva, perche' conunque la serie
perturbativa non converge. (Una convergenza asintotica non serve
assolutamente a nulla in questo contesto!)

[Parentesi: poiche' non tutti nel NG sono obbligati a sapere tutto, e
accanto ad alcuni che ne sanno piu' di me ce ne sono un bel po' che
penso ne sappiamo di meno, mi fermo un momento a spiegare che cos'e' una
serie asintotica.
Il modo piu' semplice e' fare un esempio, il solito.
La serie 1 + z + 2*z^2 + ... n! * z^n + ...

E' facile mostrare che il raggio di convergenza della serie e' nullo: la
ragione e' che per quanto piccolo si prenda |z|, n! finisce per crescere
sempre piu' rapidamente di quanto |z^n| decresce. Per cui il termine
generico della serie diverge.
Pero' se |z| e' piccolo, n! * |z^n| rimane piccolo per n anche piuttosto
grande, per cui le somme parziali da principio si comportano come se la
serie convergesse. Ne segue che si puo' ottenere un "valore
approssimato" della somma se |z| e' piccolo.
Il motivo per cui le serie asintotiche sono utili e' che ci sono
funzioni importanti per le quali esiste appunto una serie asintotica,
che permette anche di calcolare valori appross. della funzione.

Ora torniamo a quello che ci interessa. Se la serie perturbativa e'
asintotica, cio' vuol dire che si otterranno risultati migliori
riducendo la costante di accoppiamento (che gioca il ruolo di z). Ma
purtroppo la costante e' quella che e': non possiamo inventarci una
successione di QED, progressivamente con costanti di struttura fina
sempre piu' piccole, per avere approssimazioni migliori!
Se mi serve il momento magn. anomalo dell'elettrone con 10 cifre, la
serie perturbativa di QED me lo da'; ma se mi servisse con 20 cifre?
(non bisogna mettere limiti all'ingegno degli sperimentali ;-) )

Fine della parentesi.]

Ora vorrei dire qualcosa sul "vuoto ripieno di coppie di particelle
virtuali".
Dicevo all'inizio che anch'io non capisco nulla di codesti discorsi, e
voglio dare una ragione in piu'.
In una teoria di campo ragionevole, il vuoto e' definito come quello
stato (si spera unico, v. sopra) che e' caratterizzato dalle seguenti
due proprieta':
a) ha la minima energia possibile
b) e' invariante (come vettore) per trasf. del gruppo di Poincare'
(gruppo di Lorentz inomogeneo).
In particolare b) implica che il vuoto ha energia e impulso nulli.
Percio' il vuoto e' il vuoto e basta: non riesco a vedere come altro lo
si possa descrivere.
La storia delle "coppie di part. virtuali" nasce naturalmente dal
tentativo di descrivere il vuoto di una teoria con interazione nelo
stesso spazio di Hilbert di una teoria di campi liberi: cosa che abbiamo
visto impossibile.

Infine, richiamo l'attenzione sulle ultime osservazioni di Valter:
> Poi c'e' un'altra questione piu' sottile: appena si introduce la
> gravita' non ha piu' nemmeno senso il concetto di particella *reale*
> (nel senso delle particelle associate ai campi quantistici) perche'
> queste sono definite attraverso il gruppo d'invarianza di Poincare'
> che non ha piu' senso nello spaziotempo con gravita'. E fino ad oggi
> non c'e' nemmeno un concetto "approssimato" univoco di particella in
> tale situazione figuriamoci le particelle virtuali....Non e' che sia un
> male: questi problemi definitori sono quelli che alla fine "permettono"
> la radiazione di Hawking dei buchi neri, ma non risolvono problemi di
> fondo.
Qui avrei una domanda: mi pare di capire che quando parli di campi in
uno spazio-tempo non piatto, la metrica e' data a priori, non e'
modificata dalla presenza dei campi.
Se e' cosi', si aggiungerebbe un ulteriore problema se si volesse essere
coerenti, e ricordare che anche i campi modificano la metrica...
Dico bene?
Inoltre: dato tutto quanto precede, che cosa esattamente e' una QFT in
uno spazio-tempo curvo?
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
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Received on Sun Dec 26 1999 - 00:00:00 CET