Re: R: R: Doppia laurea (integrale improprio)

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/12/29

Valter Moretti wrote:
>
> kakutani wrote:
>
> > > Non conosco situazioni in cui una funzione e' impropriamente integrabile
> > > secondo Riemann (cioe' tutte le procedure di limite dell'integrale di
> > > Riemann forniscono lo stesso risultato), ma non e' sommabile secondo
> > > Lebesgue. Ma forse esistono!
> >
> > sin x / x su R
> >
> > saluti
>
> Si e' vero, grazie dell' esempio,
> questo non dipende da come fai il limite dell'estremo superiore
> d'integrazione (integrando in [0,+oo) ) perche' siamo in una dimensione
> e se f(x) -> l per x ->+oo e g(x) -> +oo per x -> +oo, allora
> f(g(x)) ->l per x-> +oo
>
> in piu' di una dimensione pero' le cose si complicano perche'non si
> puo' usare sempre il teorema di sopra...
>
> Ciao, Valter


Mi devo ricredere, la questione diventa di "lana caprina" certo,
ma l'esempio che hai dato non mi pare piu' corretto. Infatti la richista
per l'integrabilita' impropria secondo Riemann e' che il risultato non
deve dipendere da come *invadi il dominio d'integrazione* che e' un po'
diverso dalla richiesta dell'indipendenza da come esegui il limite.
Vediamo esplicitamente.

Se il dominio e' l'insieme A su cui f non e' integrabile in senso
proprio, devi considerare una classe di insiemi misurabili secondo
Riemann (Peano-Jordan) {E_n} dove n e' un indice qualsiasi (reale
o intero) tale che E_n e' incluso in E_n' se n'>n e l'unione degli
E_n e' tutto A. Inoltre ovviamente f deve essere integrabile secondo
Riemann (in senso proprio!) su ogni E_n.

L'integrale improprio e', con la condizione che diro' sotto, se esiste,
il limite dell'integrale su E_n quando n tende al sup del suo insieme di
variabilita' (tipicamente +oo).

La condizione e' che il limite ottenuto NON deve dipendere da come
scegli la classe {E_n} con le caratteristiche dette.

Solo in questo caso l'integrale *improprio* di Riemann di f su A esiste
ed e' il limite detto.


Consideriamo la tua funzione (sin x)/x, uno puo' prendere, supponendo
l'integrale da 0 a +oo (l'altra parte non fornisce piu' problemi che
questa), una classe di insiemi misurabili invadente [0, +oo) del tipo

{ [0,f(X)] | X in [0, +oo) }

dove f(X) -> +oo monotonicamente per X->+oo
 

In questo caso, indipendentemente da f, il risultato
del limite dell'integrale di (sinx)/x su [0, f(X)] per X->+oo
non dipende da f, tuttavia uno puo' prendere classi di insiemi
invadenti diverse. Anzi DEVE prenderle per dimostrare l'indipendenza
del risultato dalla classe invadente.

Per esempio prendiamo insiemi del tipo E_n con n naturale e
E_n = A_n U B_n dove (pi e' pi greco):

A_n =
[0,pi]U[2pi, 3pi]U[4pi, 5pi]U[6pi, 7pi]U...U[(2n)^2 pi,((2n^2)+1)pi]

B_n =
[pi, 2pi]U[3pi, 4pi]U[5pi,6pi]U....U [(2n+1)pi, (2n+2)pi]

E' chiaro che U_n E_n = [0, +oo) e che E_n+1 include E_n, ma

mi pare pero' che valga

lim_{n->+oo} integrale su E_n di (sin x)/x dx = +oo

questo perche' ad ogni passo rimane una parte positiva di integrale
che non e' controbilanciata da una parte negativa e la parte positiva
diventa sempre piu' grande fino a divergere per n-> +oo.
(Infatti mi pare che si possa facilmente provare che l'integrale e'
dello stesso ordine di infinitezza della sommatoria da {2n+1} a (2n)^2
di 1/(2n+1) che diverge con ordine ln n .)
 
Quindi a rigore, la funzione che citi NON e' integrabile
secondo Riemann in senso proprio e nemmemno improprio (anche se
l'integrale di sinx / x come compare diverse volte in fisica).

Ciao, Valter Moretti
Received on Wed Dec 29 1999 - 00:00:00 CET