Re: R: Momento di inerzia(ERRATA CORRIGE)

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/12/30

Ciao a tutti, Giovanni Rana (e colgo l'occasione di ringraziarlo)
 mi ha fatto notare che ho confuso il teorema di Steiner-Huygens con
 quello di Huygens-Koenig e pertanto ho "redarguito" del tutto
 ingiustamente (su questo punto) Francesco Sarnari.
 
 E' vero (mi scuso con Francesco!) e cerco di fare chiarezza sui due
 teoremi anche perche'l'ironia della sorte vuole proprio che io faccia
 l'esercitatore di Meccanica Razionale e questa gaffe potevo anche
 evitarla ;-) (il fatto e' che ho letto velocemente la seconda parte
 del messaggio di Francesco prendendo lucciole per lanterne
 e questo uno non dovrebbe mai farlo... ma "errare umanum est").

 Parto dal secondo teorema citato perche' implica il primo.

 Il teorema di H-K (nella versione che conosco io) dice che:
 
  se abbiamo un corpo rigido di massa M, consideriamo l'operatore
  d'inerzia rispetto ad un punto O (anche non appartenente al corpo),
  fissate due basi vettoriali ortonormali (per comodita'destrorse)
  PARALLELE, una centrata in O e l'altra centrata nel centro di massa
  G del corpo,
  allora le matrici I(O) e I(G) che rappresentano l'operatore d'inerzia
  nelle due basi rispetto ai due differenti punti G e O
  rispettivamente, sono connesse dalla relazione, in componenti nelle
  terne dette,

 I(0)_{ij} = I(G)_{ij} + M ( |G-O|^2 d_{ij} - (G-O)_i (G-O)_j ) (1)

  dove d_{ij} e' il delta di Kroneker, G-O e' il segmento orientato
  da O a G essendo |G-O|�il suo modulo e (G-O)_k la sua k-esima
  componente rispetto alle terne dette (una qualsiasi delle due, tanto
  sono parallele).

  L'interpretazione fisica e' chiara ed e' la solita che appare in
  tutti questi teoremi: la matrice (oppure l'operatore) d'inerzia
  rispetto ad O e' quella rispetto a G piu' una matrice d'inerzia
  rispetto a O di un corpo costituito da un unico punto materiale
  in G di massa uguale a quella del corpo M (tutta concentrata in G).

  Ricordo che ogni matrice d'inerzia rispetto ad un punto P e'sempre
  (reale e) simmetrica per cui, per un noto teorema e' diagonalizzabile
  su qualche terna (che possiamo sempre prendere destrorsa) in O.
  In questo caso i tre assi sono detti "principali d'inerzia".

  A questo punto ci sono due importanti corollari usando le stesse
  notazioni e convenzioni del teorema di H-K.

  1) Supponiamo che la *matrice* I(G) sia *principale d'inerzia*, cioe'
     *sia in forma diagonale nella terna considerata*.
     Se la traslazione che porta la terna in G sulla terna in O
     avviene *lungo un asse principale d'inerzia della terna*,
     allora *anche la matrice I(0) e' principalke d'inerzia*.


  Dim. Supponiamo che la traslazione avvenga lungo l'i-esimo asse,
  si ha allora che
     (G-O)_k = d_{ki} |G-O|

  questo, sostituito in (1) implica subito che anche la matrice
  I(0) e' in forma diagonale. QED

  Spesso direttamente questo corollario si e' detto Teorema di H-K

  Ricordo ora, che se n e' il versore di un asse generico passante per
  un punto P allora il momento d'inerzia del corpo J[n,P] rispetto
  all'asse individuato da n e P e definito nel solito modo, risulta
  anche valere (direttamente per come e' definito l'operatore d'inerzia)

     J[n,P] = (n, I(P) n) (2)
 
  dove ( , ) e' il prodotto scalare tra due vettori e I(P) e' la
  matrice o l'operatore d'inerzia rispetto a P. Dalla definizione
  di momento d'inerzia rispetto ad un asse si vede subito che
  I(P) deve essere sempre semidefinita positiva essendo il primo membro
  di sopra sempre non negativo.
  La formula data e' la prima formula che prova l'importanza
  dell'operatore d'inerzia; nella cinematica e nella dinamica dei corpi
  rigidi ci sono le altre due fondamentali relazioni riguardanti il
  momento angolare e l'energia cinetica dove ricompare l'operatore
  d'inerzia.

  Passiamo al secondo corollario che e' il teorema di Steiner-Huygens
  (che e' quello che diceva correttamente Francesco)

  2) Consideriamo un asse, NON necessariamente principale d'inerzia,
     con versore n passante per G e un secondo asse con lo stesso
     versore ma passante per O (quindi il primo e' baricentrale l'altro
     non lo e' ma e' parallelo al primo), allora si ha:

     J[n,O] = J[n,G] + M d^2

     dove d e' la distanza tra i due assi paralleli.



   Dim. Facendo una figura, la distanza tra i due assi e' data, dal
   teorema di Pitagora, da:
     
     |G-O|^2 - (n , G-O)^2
     
   La dimostrazione del corollario e' allora immediata usando
   (1) e (2) insieme. QED
  

  Un'ultima considerazione finale. Tutte queste formule valgono,
  istante per istante, anche se il corpo NON e' rigido, ma non servono
  a niente, perche' non essendo il movimento (l'atto di moto) un atto
  di moto rigido non e' possibile definire un "vettore omega" del corpo
  rispetto ad un sistema di riferimento e scrivere, in quel sisitema
  di riferimento, le equazioni cardinali della dinamica in termini
  dell'operatore d'inerzia, il vettore omega e tutto il resto (che,
  fissate condizioni iniziali, determinano il moto del corpo
  se e' un corpo rigido e se le forze esterne ed i momenti esterni
  sono assegnati e anche, in certi casi (vincoli lisci), se alcune
  reazioni vincolari sono incognite).

  
  Ora spero che sia tutto chiaro, ciao a tutti, Valter Moretti
Received on Thu Dec 30 1999 - 00:00:00 CET