Re: R: Momento di inerzia(ERRATA CORRIGE)

From: Elio Fabri <mcq8827_at_mcqlink.it>
Date: 2000/01/06

Valter, su quello che mi state scrivendo a proposito di vuoto e di campi
in spazi curvi, ci debbo pensare parecchio. Invece e' piu' semplice dire
qualcosa sui momenti d'inerzia ;-)

Valter Moretti ha scritto:
> Ciao a tutti, Giovanni Rana (e colgo l'occasione di ringraziarlo)
> mi ha fatto notare che ho confuso il teorema di Steiner-Huygens con
> quello di Huygens-Koenig e pertanto ho "redarguito" del tutto
> ingiustamente (su questo punto) Francesco Sarnari.
> ...
> Il teorema di H-K (nella versione che conosco io) dice che:
>
> se abbiamo un corpo rigido di massa M, consideriamo l'operatore
> d'inerzia rispetto ad un punto O (anche non appartenente al corpo),
> fissate due basi vettoriali ortonormali (per comodita'destrorse)
> PARALLELE, una centrata in O e l'altra centrata nel centro di massa
> G del corpo,
> allora le matrici I(O) e I(G) che rappresentano l'operatore d'inerzia
> nelle due basi rispetto ai due differenti punti G e O
> rispettivamente, sono connesse dalla relazione, in componenti nelle
> terne dette,
>
> I(0)_{ij} = I(G)_{ij} + M ( |G-O|^2 d_{ij} - (G-O)_i (G-O)_j ) (1)
>
> ...
> Passiamo al secondo corollario che e' il teorema di Steiner-Huygens
> (che e' quello che diceva correttamente Francesco)
>
> 2) Consideriamo un asse, NON necessariamente principale d'inerzia,
> con versore n passante per G e un secondo asse con lo stesso
> versore ma passante per O (quindi il primo e' baricentrale l'altro
> non lo e' ma e' parallelo al primo), allora si ha:
>
> J[n,O] = J[n,G] + M d^2
>
> dove d e' la distanza tra i due assi paralleli.
>
Io la sapevo diversa...
In primo luogo, non solo 2) segue da 1), ma anche viceversa: se 2) vale
per tutti gli n, vale anche 1).
La dim. e' semplice, basandosi sul fatto che un tensore simmetrico ha
sempre almeno tre autovettori ortogonali.

Secondo, e piu' importante (forse): questo/i teorema/i io lo/i conosco
col nome di Huygens-Steiner. Come t. di Koenig ne conosco un'altro, che
riguarda l'en. cinetica: l'en. cinetica di un sistema in un rif.
qualsiasi e' uguale a quella nel rif. del centro di massa piu' l'en.
cin. del centro di massa (supposto dotato della massa totale del
sistema).
(Ho omesso per brevita' la defin. del rif. del cdm.)
Dico importante solo in questo senso: mi pare che in letteratura ci sia
una certa disparita' di terminolgia, che non puo' che confondere gli
studenti...

Osservo anche che tutti questi teoremi, come pure un teorema importante
di probabilita', riguardante la varianza di una var. casuale, dal punto
di vista matematico sono uno solo, che riguarda il modo di trasformarsi
delle forme quadratiche *per traslazioni*.
Questo non viene spesso messo in evidenza.

E forse ti ho dato qualche idea per le esercizaioni di MR :-)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
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Received on Thu Jan 06 2000 - 00:00:00 CET