Re: Tensore Curvatura di Riemann
Giuseppe Russo wrote:
>
> Visto che il mio quesito � passato inosservato lo ripropongo.
>
> Nel mio studio della R.G. ho riscontrato il seguente problema: non
> riesco a ricavare la dimostrazione della propriet� che consente di
> scambiare le coppie di indici nel Tensore curvatura di Riemann.
> Esattamente, si pone il seguente quesito:
> date le propriet� (uso la notazione LaTeX per essere pi� preciso) di
> R_{abcd}:
> 1. R_{abcd}= - R_{bacd}
> 2. R_{[abc]d}=0
> 3. R_{abcd}= - R_{abdc}
> da queste tre � facile ricavare la seguente utile propriet�:
> R_{abcd}=R_{cdab}
> Il problema � che non riesco tramite queste tre a ricavare la
> precedente. Il testo di riferimento � il R. Wald "General Relativity".
> Qualcuno pu� essermi d'aiuto?
>
> Grazie.
Ciao, in effetti non e' del tutto banale [stavo per scrivere
direttamente a Bob Wald per chiederglielo!].
Allora uso la notazione abcd per R_{abcd} .
Prendi la proprieta' 2, essa e' esplicitamente
abcd + bcad + cabd = 0 (a)
pero' posso riscrivere la stessa usando tutti e quattro gli indici
iniziali permutati ciclicamente, cioe' partendo da R_{bcda}, come
bcda + cdba + dbca = O (b)
ora faccio un'altra permutazione ciclica degli indici iniziali
cioe' parto da R_{cdab}
cdab + dacb + acdb = 0 (c)
analogamente trovo ancora, partendo da R_{dabc},
dabc + abdc + bdac = 0 (d)
ora sommo ambo membri di (a), (b), (c) e (d).
Se tengo conto delle altre due proprieta' che hai citato tu, molti
termini si semplificano tra di loro ottenendo alla fine solo
2 cabd + 2 dbca = 0
ossia
cadb - bdca = 0
cambiando nome agli indici
abcd = cdab
che significa:
R_{abcd} = R_{cdab}
Ciao, Valter Moretti
Received on Tue Dec 14 1999 - 00:00:00 CET
This archive was generated by hypermail 2.3.0
: Fri Nov 08 2024 - 05:10:40 CET