Re: Tensore Curvatura di Riemann

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/12/14

Giuseppe Russo wrote:
>
> Visto che il mio quesito � passato inosservato lo ripropongo.
>
> Nel mio studio della R.G. ho riscontrato il seguente problema: non
> riesco a ricavare la dimostrazione della propriet� che consente di
> scambiare le coppie di indici nel Tensore curvatura di Riemann.
> Esattamente, si pone il seguente quesito:
> date le propriet� (uso la notazione LaTeX per essere pi� preciso) di
> R_{abcd}:
> 1. R_{abcd}= - R_{bacd}
> 2. R_{[abc]d}=0
> 3. R_{abcd}= - R_{abdc}
> da queste tre � facile ricavare la seguente utile propriet�:
> R_{abcd}=R_{cdab}
> Il problema � che non riesco tramite queste tre a ricavare la
> precedente. Il testo di riferimento � il R. Wald "General Relativity".
> Qualcuno pu� essermi d'aiuto?
>
> Grazie.


 Ciao, in effetti non e' del tutto banale [stavo per scrivere
 direttamente a Bob Wald per chiederglielo!].
 
 Allora uso la notazione abcd per R_{abcd} .

 Prendi la proprieta' 2, essa e' esplicitamente

 abcd + bcad + cabd = 0 (a)

 pero' posso riscrivere la stessa usando tutti e quattro gli indici
 iniziali permutati ciclicamente, cioe' partendo da R_{bcda}, come

 bcda + cdba + dbca = O (b)


 ora faccio un'altra permutazione ciclica degli indici iniziali
 cioe' parto da R_{cdab}


 cdab + dacb + acdb = 0 (c)


 analogamente trovo ancora, partendo da R_{dabc},


 dabc + abdc + bdac = 0 (d)


 ora sommo ambo membri di (a), (b), (c) e (d).
 Se tengo conto delle altre due proprieta' che hai citato tu, molti
 termini si semplificano tra di loro ottenendo alla fine solo

 2 cabd + 2 dbca = 0

 ossia

 cadb - bdca = 0
 
 cambiando nome agli indici

 abcd = cdab

 che significa:


 R_{abcd} = R_{cdab}


 Ciao, Valter Moretti
Received on Tue Dec 14 1999 - 00:00:00 CET