Ho scritto:
> Però mi ci vorrà un po' di tempo...
Intanto ecco un bel pezzo.
1. Le osservabili di un dato sistema fisico costituiscono
un'algebra C* (che chiamerò A).
Nota: per definizione gli elementi di un'algebra C* hanno una norma,
quindi alla fine verrano rappresentati da operatori *limitati*, mentre
in MQ siamo abituati a operatori non limitati, anche per le grandezze
più banali.
Questa non è però una vera limitazione: parlando in termini di
operatori, ogni operatore X autoaggiunto non limitato può essere
sostituito dal corrisp. operatore unitario U = exp(iX).
Grazie al teorema di Stone il viceversa è vero se non si ha solo U, ma
un *gruppo*: U(t1+t2) = U(t1) U(t2) fortemente continuo su t.
Il teorema assicura infatti l'esistenza di X autoaggiunto tale che
U(t) = exp(iXt).
Anche per le relazioni di commutazione non c'è problema: consideriamo
per es. [Q,P] = iI.
Definisco U(a) = exp(iaP), V(b) = exp(ibQ).
Si dimostra che
U(a) V(b) = V(b) U(a) e^{iab}.
2. Gli stati del sistema sono i funzionali lineari positivi continui su
A a valori complessi. (Non dettaglio il significato di positivo e
continuo; ricordo solo che per un funzionale lineare "continuo" è
sinonimo di "limitato".)
Osservazione: l'insieme F dei funz. di cui all'assioma 2 è *convesso*:
se f, g sono elementi di F e p, q sono reali positivi con p+q=1, anche
pf+bg appartiene a F.
Definizione: un funzionale h si dice *puro* se non esistono f, g, p, q
tali che h = pf+bg (a parte le soluzioni banali p=1, q=0, f=h oppure
p=0, q=1, g=h).
A questo punto posso già enunciare il fondamentale
Teorema di ricostruzione (Gel'fand, Naimark, Segal, 1947-48):
(enunciato semplificato)
Scelto un qualsiasi funzionale f reale positivo continuo su A, esiste
uno spazio di Hilbert separabile in cui è definita una
rappresentazione r(A) di A.
Se f è puro, esiste in H un vettore |xi> tale che per ogni elemento B
di A: f(B) = <xi|r(B)|xi>.
Altrimenti esiste una operatore statistico (matrice densità) rho tale
che f(B) = Tr(rho r(B)).
Il vettore |xi> è *ciclico*, il che significa che l'insieme r(A)|xi> è
denso in H.
Se e solo se f è puro, la rappresentazione r(A) è *irriducibile*.
Nota: una rappr. r(A) si dice irriducibile se il commutante r'(A),
ossia l'insieme degli operatori di H che commutano con tutti gli
operatori di r(A), si riduce a un multiplo dell'operatore unità.
Commento: Intanto la definizione che ho data equivale a un'altra: r(A)
è irriducibile se non possiede sottospazi invarianti propri.
Poi si vede che l'irriducibilità è una proprietà della rappr. una
volta assegnata l'algebra A: una rappr. irriducibile per A può
diventare riducible per una sottoalgebra.
E' anche una proprietà dello spazio H: una rappr. riducibile in H
diventerà irr. in qualche sottospazio di H.
Quindi si dovebbe meglio parlare della riducibilità o meno come una
proprietà congiunta di tre entità:
- un'algebra (o altra struttura, per es. un gruppo)
- uno spazio vettoriale
- un'applicazione dell'algebra in quella degli operatori definiti
sullo spazio.
3. Su H è definita una rappr. unitaria e continua U(t) del gruppo
delle traslazioni temporali.
Osservazione: da 3, per il teorema di Stone, segue l'esistenza di un
operatore autoaggiunto E (non posso usare H che è già impegnata)
(energia, hamiltoniana).
Non aggiungo altri assiomi, che penso sarebbero necessari per
costruire una MQ ma non servono per chiarire la questione in oggetto.
In una puntata a seguire svilupperò l'asserzione fatta in precedenza,
che ripeto.
Credo che l'idea da cui siete partiti:
"la assunzione di un certo set come irriducibile caratterizza i gradi
di libertà del sistema fisico in esame"
sia sbagliata, anche se molto diffusa.
Sperando di riuscire a dare forma chiara al modo come la vedo...
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Elio Fabri
Received on Thu Feb 16 2023 - 20:59:29 CET