Re: Teorema di Gauss.

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/10/11

Solo un commento sul teorema di Gauss quando la carica e' sulla
  superficie. (Tra parentesi una dimostrazione elementare ma rigorosa
  per superfici regolari a tratti del "teorema della divergenza" da
  cui si puo' ottenere la legge di Gauss, la si trova (se la memoria
  non mi inganna) sul testo di analisi II di T. Apostol "Calculus" Vol.
  3, edito in Italia da Boringhieri. Volendo poi "uccidere una mosca
  con un cannone" lo stesso teorema della divergenza puo' essere
  ottenuto come sottocaso del teorema di Poincare' sull'integrazione
  delle forme esatte su varieta').
  Se la carica q, puntiforme, appartiene alla superficie (regolare a
  tratti) e' chiaro che l'enunciato del teorema in generale NON vale
  e deve essere modificato e NON si ha il risultato che si ottiene
  prendendo la carica fuori o dentro e facendo il limite sulla
  superficie. Tale limite non esiste perche' fornirebbe due risultati
  diversi, risp. 4 pi q o 0, a seconda della regione, interna o
  esterna, che si usa per calcolarlo. In ogni caso i due valori sono
  banalmente FINITI e non ci sono divergenze.
  E' immediato ottenere un enunciato diverso da quello solito prendendo
  una sfera dividendola in due superfici chiuse, regolari a tratti,
  tramite un piano che passa per il centro. Se ora
  mettiamo una carica q esattamente nel centro della sfera, il flusso
  del campo elettrico sulle due superfici chiuse simmetriche e' finito
  (la faccia piatta non fornisce contributo perche' il campo e' normale
  alla faccia quasi ovunque) e deve essere uguale per simmetria. D'altra
  parte la somma dei due flussi deve essere ancora 4 pi q. Questo
  significa che per ciascuna superficie chiusa, il flusso del vettore
  elettrico e' 2 pi q, come se dentro la superficie ci fosse solo mezza
  carica.
  Il risultato non e' per niente generale, come si ottiene dividendo
  la sfera in 8 spicchi tramite 3 piani ortogonali passanti per il
  centro.
  In questo caso il flusso attraverso ciascuno spicchio e' pi q/ 4.
  Quindi la questione generale non sembra essere tanto ovvia. Forse e'
  importante notare che negli esempi che ho proposto le superfici sono
  regolari a tratti ma non *globalmente* regolari: ci sono sempre degli
  spigoli [curve su cui non esiste il piano tangente]. Ma e' facile
  rendersi conto, almeno considerando il caso iniziale di un solo piano,
  che la loro presenza non e' essenziale (basta smussare negli spigoli
  in modo simmetrico le due superfici chiuse ottenute segando la sfera
  con il piano...).


  Ciao, Valter Moretti
Received on Mon Oct 11 1999 - 00:00:00 CEST