Solo un commento sul teorema di Gauss quando la carica e' sulla
superficie. (Tra parentesi una dimostrazione elementare ma rigorosa
per superfici regolari a tratti del "teorema della divergenza" da
cui si puo' ottenere la legge di Gauss, la si trova (se la memoria
non mi inganna) sul testo di analisi II di T. Apostol "Calculus" Vol.
3, edito in Italia da Boringhieri. Volendo poi "uccidere una mosca
con un cannone" lo stesso teorema della divergenza puo' essere
ottenuto come sottocaso del teorema di Poincare' sull'integrazione
delle forme esatte su varieta').
Se la carica q, puntiforme, appartiene alla superficie (regolare a
tratti) e' chiaro che l'enunciato del teorema in generale NON vale
e deve essere modificato e NON si ha il risultato che si ottiene
prendendo la carica fuori o dentro e facendo il limite sulla
superficie. Tale limite non esiste perche' fornirebbe due risultati
diversi, risp. 4 pi q o 0, a seconda della regione, interna o
esterna, che si usa per calcolarlo. In ogni caso i due valori sono
banalmente FINITI e non ci sono divergenze.
E' immediato ottenere un enunciato diverso da quello solito prendendo
una sfera dividendola in due superfici chiuse, regolari a tratti,
tramite un piano che passa per il centro. Se ora
mettiamo una carica q esattamente nel centro della sfera, il flusso
del campo elettrico sulle due superfici chiuse simmetriche e' finito
(la faccia piatta non fornisce contributo perche' il campo e' normale
alla faccia quasi ovunque) e deve essere uguale per simmetria. D'altra
parte la somma dei due flussi deve essere ancora 4 pi q. Questo
significa che per ciascuna superficie chiusa, il flusso del vettore
elettrico e' 2 pi q, come se dentro la superficie ci fosse solo mezza
carica.
Il risultato non e' per niente generale, come si ottiene dividendo
la sfera in 8 spicchi tramite 3 piani ortogonali passanti per il
centro.
In questo caso il flusso attraverso ciascuno spicchio e' pi q/ 4.
Quindi la questione generale non sembra essere tanto ovvia. Forse e'
importante notare che negli esempi che ho proposto le superfici sono
regolari a tratti ma non *globalmente* regolari: ci sono sempre degli
spigoli [curve su cui non esiste il piano tangente]. Ma e' facile
rendersi conto, almeno considerando il caso iniziale di un solo piano,
che la loro presenza non e' essenziale (basta smussare negli spigoli
in modo simmetrico le due superfici chiuse ottenute segando la sfera
con il piano...).
Ciao, Valter Moretti
Received on Mon Oct 11 1999 - 00:00:00 CEST
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