Effetto Doppler e non solo

From: scottex <scottex_at_tin.it>
Date: 1999/10/14

    Fabrizio Bertone ha scritto:

> Qualcuno s� da cosa � provocato l'effetto doppler ?



    La spiegazione dell'effetto Doppler non e' complicata, vediamo come
funziona con un semplice esempio. In un sistema di riferimento inerziale K
su una guida rettilinea orizzontale G sono montati un emettitore di
particelle E in quiete e un rilevatore R che si muove verso il primo con
velocita' costante. Su G usiamo una coordinata x con origine direzione e
verso come in figura,


   K E <- R
              ---------------------------------------------------> G
                0 x


allora x(R,0) = (posizione di R al tempo t = 0) = d > 0, v(R) = (velocita'
di R) = -v < 0; a t = t1 viene emessa una particella P1 che procede lungo
G di moto uniforme con v(P1) = u > 0, a t = t2 parte P2 con v(P2) = u e
stessa direzione; avremo allora:

(1) x(R,t) = -v t + d
(2) x(P1,t) = u (t - t1)
(3) x(P2,t) = u (t - t2)

Quanto tempo passera' fra il rilevamento della prima particella e quello
della seconda? Siano t1' e t2' i tempi di rilevamento da parte di R di P1 e
P2, siccome le particelle vengono rilevate quando giungono ad R abbiamo
x(P1,t1') = x(R,t1'), x(P2,t2') = x(R,t2'), quindi usando la (1) e la (2) e
rispettivamente la (1) e la (3) otteniamo:

(4) -v t1' + d = u (t1'- t1)
(5) -v t2' + d = u (t2'- t2)

e sottraendo la (4) dalla (5) con (t2' - t1') = T(R) e (t2 - t1) = T(E)
abbiamo:

(6) T(R) = T(E)/(1 + v/u)

Il risultato trovato e' maggiormente evidente osservando il grafico delle
curve orarie di R, P1 e P2:


                                    |\
                                    | \
                                    | \
                                    | \
                                   x| \
                                    | \
                                    | R
                                    | \
                                    | \
                                    | / \
                                    | / \
                                    | / / \
                                    | P1 P2 \
                                    |_ _/_ _/_ _ _\_ _ _ _
                                    0 t1 t2 t



Un altro modo di vedere la (6) e' il seguente: se E emette particelle con un
periodo T(E) allora f(E) = (frequenza di emissione) = 1/T(E) ed usando la
(6) abbiamo per f(R) (frequenza di rilevamento):

(7) f(R) = f(E) (1 - v(R)/u)

    Ora supponiamo che la nostra sorgente emetta un'onda di frequenza f(E) e
velocita' u anziche' delle particelle, allora la (7) varra' ancora, infatti
il precedente ragionamento rimane del tutto valido sostituendo alle
particelle i fronti d'onda. E' per questo che nel caso di v(R) > 0 si parla
di redshift (spostamento verso il rosso), infatti f(R) < f(E) quindi per
un'onda luminosa il colore risulta piu' rosso visto da R, simmetricamente
se v(R) < 0 f(R) > f(E) (blueshift) e per R il colore e' piu' blu.

    A questo punto la tentazione di spremere ancor piu' il nostro
esperimento ideale e' troppo forte, torniamo quindi nella situazione
iniziale con la differenza che le particelle hanno velocita' u = c
(velocita' della luce), allora nella (6) non avremo che da sostituire u con
c; vediamo che succede in un sistema di riferimento inerziale K' in cui R
sia in quiete. Usiamo una coordinata x' con origine direzione e verso come
in figura,


   K' R <- E
              ---------------------------------------------------> G
                0 d x'


allora x'(E,0) = d, v'(E) = -v per simmetria, v'(P1) = v'(P2) = -c (la
velocita' della luce e' la stessa in tutti i sistemi di riferimento
inerziali), quindi:

(8) x'(P1,t) = - c t + (c - v) t1 + d
(9) x'(P2,t) = - c t + (c - v) t2 + d

da cui abbiamo:

(10) T(R) = T(E) (1 - v/c)

La (10) ci lascia alquanto perplessi, infatti non e' uguale alla (6). Ci
troviamo di fronte a un bello inghippo, i calcoli fatti in K e K' portano a
risultati diversi cosa che contraddice palesemente il principio di
relativita'. Einstein si trovo' in una "situazione del genere" quando
all'inizio di questo secolo pose le basi della teoria della relativita',
vediamo come ne usci'. Se come fece Einstein crediamo al principio di
relativita' e all'invarianza di c, non c'e' che un'ipotesi da cambiare
(facile no? :P), quella che il tempo sia assoluto. Infatti in tutti i nostri
ragionamenti ci siamo portati dietro tacitamente questa assunzione
"intuitiva" e cioe' che un intervallo di tempo T in K sia uguale in K',
facciamo cadere questa ipotesi, quindi riscriviamo la (10):

(11) T'(R) = T'(E) (1 - v/c)

Ma che relazione c'e' fra T'(R) e T(R), T'(E) e T(E)? T'(R) e' l'intervallo
di tempo che passa fra i due rilevamenti in K', T(R) quello che passa in K;
la differenza fra K' e K e' che nel primo R sta fermo (quindi i due
rilevamenti avvengono nello stesso posto) mentre nel secondo si muove a
velocita' costante. Supponiamo che T(R) = g T'(R) (il fatto che la relazione
fra T(R) e T'(R) debba essere lineare andrebbe giustificato, in realta' e'
una conseguenza del principio di relativita') allora per simmetria
T'(E) = g T(E) (infatti E e' fermo in K e in moto in K') ed usando la (11):

(12) T(R)/g = g T(E)(1 - v/c)

e con la (6) otteniamo:

(13) g^2 = 1/(1 - (v/c)^2)

Quindi siamo arrivati a stabilire la relazione che c'e' fra un intervallo di
tempo T(p) (tempo proprio) che passa fra due eventi che avvengono nello
stesso luogo in un riferimento inerziale e il corrispondente intervallo T
trascorso in un altro riferimento inerziale che si muove a velocita'
costante v rispetto al primo:

(14) T(p) = T [1 - (v/c)^2]^1/2

La (14) e' la prima formula fondamentale della teoria della relativita',
chiamata da alcuni in modo ambiguo e brutto come formula della dilatazione
dei tempi. Ora e' facile trovare la formula corretta (relativistica)
per l'effetto Doppler, infatti come dicevamo T(R) = T'(R) g e con
la (6) e la (13):

(15) T'(R) = T(E)/[g (1 + v/c)]

da cui

(16) f'(R) = [f(E) (1 - v(R)/c)]/[1 - (v(R)/c)^2]^1/2

Dalla (16) si vede subito che se |v(R)/c| << 1 la (7) e' un'ottima
approssimazione.
     Adesso sarebbe divertente spiegarti il redshift gravitazionale, ma lo
rimando ad un'altra puntata.

ciao, scottex

    "Our imagination is stretched to the outmost, not, as in fiction, to
imagine things which are not really there, but just to comprehend those
things which are there."

R.P. Feynman
Received on Thu Oct 14 1999 - 00:00:00 CEST