Tensori per principianti

From: <lunogled_at_hotmail.com>
Date: 1999/10/14

Qualche giorno fa un amico che fa ricerche in matematica
pura mi ha chiesto di spiegargli brevemente i concetti
fondamentali della teoria dei tensori.

Vorrei sapere che ne pensate della spiegazione riportata
sotto (buona? non chiara?
Un disastro che dimostra che ne so poco
anche io?), considerato che io i tensori li ho studiati
soltanto nel contesto della relativita' generale.

-------------- inizio spiegazione ----------

I tensori sono stati "inventati" per

a) Permettere una generalizzazione dei vettori e
    le matrici a piu' dimensioni

b) Consentire di lavorare in un sistema di
    coordinate arbitrario (non necessariamente ortogonale),
    e/o usare una definizione arbitraria di
    "prodotto scalare" (non necessariamente simmetrica
    come x^2+y^2+z^2).

    Il pregio della notazione tensoriale
    e che ogni tensore "contiene" le proprieta'
    di trasformazione di tutti i membri da un sistema
    di coordinate all'altro , indipendentemente
    dal sistema stesso (il che rende queste
    trasformazioni assai piu' facili).

Iniziamo quindi con il generalizzare vettori e il
prodotto scalare ad un sistema arbitrario di coordinate:

il prodotto scalare di due vettori x e y
cessa di essere simmetrico e
sara' un'espressione del tipo A(i,j)x(i)y(j)
, o se preferite un prodotto di 2 vettori e una matrice.
(Qui spiego e uso la convenzione di Einstein delle
somme)

Risulta quindi conveniente definire come "covettore"
l'espressione A(i,j)x(i) (chiamiamolo x_(i). Se si
preferisce una definizione rigorosa, x_(i)
e' una funzione lineare fra vettori e numeri reali ).
Il prodotto scalare sara' quindi x_(i)y(i).

Tuttavia, A(i,j) si trasforma da un sistema di coordinate
ad un'altro in modo diverso da x(i)

(Qui derivo le regole di trasformazione, dall'assunto
che il prodotto scalare e' lo stesso in tutti i sistemi),

Quindi anche x_(i) avra' regole di trasformazioni
diverse. (derivo le regole di trasformazione dalle
regole obbedite da y(j) e dal prodotto scalare).

La diversa notazione ,quindi , tiene conto di come
il vettore/covettore va trasformato quando si cambia
coordinate.

Da qui, si puo generalizzare a oggetti di un numero
arbitrario di dimensioni, sia in forma di vettori
che in forma di covettori.

Un tensore e' un'oggetto che segue le proprieta'
di trasformazione vettoriale per tutti gli indici
vettoriali, e le proprieta' covettoriali per tutti gli
indici covettoriali.

Le somme di tensori dello stesso rango e con indici
dello stesso tipo saranno anche essi tensori dello stesso
rango e con indici dello stesso tipo, ecc.

-------- fine spiegazione -------------

Visto che una buona parte delle difficolta' nell'apprendere
la relativita' generale e' il fatto che bisogna
abituarsi ai tensori, penso che una buona
introduzione ad essi e' fondamentale.

Una cosa che personalmente ho trovato MOLTO
frustrante in molti testi e' che
partono in quinta definendo vettori e covettori
come "Il vettore si trasforma cosi', il covettore
si trasforma cola'", proseguendo con roba piu'
complicata.

Quasi mai viene data una giustificazione esplicita
sul PERCHE delle diverse proprieta di trasformazione,
e non viene mai spiegata la necessita' di
definire i covettori
e i tensori (cosa puo fare un tensore che un vettore
"normale" non puo fare?)

Con la spiegazione data sopra pensavo di ovviare a
questo.

Saluti

GT


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Received on Thu Oct 14 1999 - 00:00:00 CEST

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