Re: Teorema di Gauss.

From: ?manu* <paolini_at_sNOSPAMns.it>
Date: 1999/10/08

On 8 Oct 1999 bdbeca_at_tin.it wrote:

> Mi riferisco a quello del flusso in Elettrostatica.
> Scrivo perche' secondo me e' affrontato, e nell' enunciazione e nella
> dimostrazione, in maniera approssimativa e inesatta in tutti i testi
> (universitari) che ho consultato.

Hai ragione! Ho visto ben poche dimostrazioni del teorema di Gauss, e non
certo sui libri di fisica. Il motivo e' che questo teorema (o gli
equivalenti "Gauss-Green" "divergenza" "Stokes") e' MOLTO delicato nella
dimostrazione. Sei fortunato che l'esame di Fisica non richieda tale
dimostrazione. A me non e' stata mai fatta neanche nei corsi di Analisi a
matematica.

Sicuramente questo e' uno dei casi piu' tipici in cui i fisici hanno usato
un teorema prima che venisse dimostrato, dando inoltre molto lavoro ai
matematici. Comunque il teorema e' vero in ipotesi piu' deboli di quelle
che citi tu (tra l'altro la versione piu' debole e' stata dimostrata da un
matematico italiano morto di recente): e' sufficiente avere varieta'
lipschiz (derivabili quasi ovunque) e campi lipschitz.

Anzi il teorema di gauss e' talmente importante, che quando non si puo'
dare una definizione di derivata in altro modo, si definisce la derivata
come quella cosa che soddisfa il teorema di Gauss (che quindi non e' piu'
un teorema ma un assioma). Questa ad esempio e' l'origine della teoria
delle distribuzioni, che generalizza il concetto di funzioni comprendendo
anche le misure (in particolare le delte di dirak che piacciono tanto ai
isici) e generalizzando il concetto di derivata a tutte queste funzioni
generalizzate.

> La prima critica va alla stessa definizione di flusso, che presuppone
> almeno una superficie regolare a tratti e un campo continuo sui pezzi
> di questa superficie...
> Che senso avrebbe, altrimenti? Nessuno, ne' fisicamente ne'
> matematicamente. Pensateci.

Certo. Come ti dicevo si puo' andare un po' oltre ma non di molto.

> In secondo luogo c'e' una questione prettamente geometrica: il fatto
> che l' area intersecata da un cono su una superfice con normale
> inclinata di teta con l' asse del cono sia 1/cos(teta) l' area
> normale.
> [...]
> Ebbene NESSUN testo si degna di dare la benche' minima spiegazione di
> quell' identita' geometrica.
> Io ho trovato (solo nel caso di coni circolari) che tale relazione non
> e' esatta ma e' vera per l' angolo al vertice del cono tendente a
> zero.
> Quacuno ha altre notizie?

Difficilmente le spiegazioni date nei testi di fisica sono esaurienti.
Servono solo per convincere il lettore che il teorema e' sensato, e per
dare un'idea della dimostrazione.
Comunque e' sufficiente che la relazione di cui parli sia vera per i coni
piccoli, visto che poi verra' fatto un limite in cui le ampiezze dei coni
tendono a zero.

> E infine mi sono provato ad estendere il teorema di Gauss al caso in
> cui ci siano cariche (puntiformi) localizzate esattamente sulla
> superficie attraverso la quale si vuole calcolare il flusso.
> Scaturiscono risultati che mi sembrano piuttosto interessanti, sia
> teoricamente che praticamente. In particolare salta fuori un'
> interessante indizio sull' inadeguatezza del modello puntiforme di
> carica.

Questo problema mi sa che e' difficilmente formalizzabile... ma non credo
che abbia molto senso fisico.

ciao,
        Em.
Received on Fri Oct 08 1999 - 00:00:00 CEST