Re: Teorema di Gauss.

From: Giolindo <giolindo_at_libero.it>
Date: 1999/10/11

Alberto BARSELLA <ishark_at_lsh01.univ-lille1.fr> wrote:


>bdbeca_at_tin.it writes:

>> Mi riferisco a quello del flusso in Elettrostatica.
>> Scrivo perche' secondo me e' affrontato, e nell' enunciazione e nella
>> dimostrazione, in maniera approssimativa e inesatta in tutti i testi
>> (universitari) che ho consultato.

>Possibile, a che testi ti riferisci?

Mah, esattamente sono: il Mencuccini-Silvestrini, la fisica di
Feynman, quella di Purcell, e un altro che adesso non mi viene in
mente. Il fatto e' che tutti utilizzano lo stesso meccanismo
approssimativo, pur mediante vie diverse, e soprattutto trascurano la
storia dell' area (vedi sotto) . Penso che questo sia il modo standard
di "dimostrare" il teorema di Gauss a chi non si pone troppi problemi,
anche perche' oppresso dagli appelli.

>> La prima critica va alla stessa definizione di flusso, che presuppone
>> almeno una superficie regolare a tratti e un campo continuo sui pezzi
>> di questa superficie...
>> Che senso avrebbe, altrimenti? Nessuno, ne' fisicamente ne'
>> matematicamente. Pensateci.

>Non mi stupisce il fatto che nel caso elettrostatico non venga detto
>(seconda parte, dico), visto che vuol dire che non vanno messe cariche
>sulla superficie, altrimenti succede un casino....

Qua proprio non ho colto il significato della tua risposta.

>Per la superficie regolare a tratti....scusa, ma te che superfici usi
>di solito?

Niente di personale, ma queste risposte le trovo parecchio
indisponenti. Non e' questo il punto: e' chiaro che il concetto di
flusso torna utile in casi che soggiaciono a queste condizioni, ma il
fatto e' che esse andrebbero esplicitate, e allo scopo di rendere piu'
consapevole lo studente, e per fargli capire che niente e' facile come
sembra dal disegnino innocuo che tutti i testi piazzano
strategicamente.
 A parte tutto la regolarita' a tratti e' condizione quasi
indispensabile perche' la DEFINIZIONE di flusso abbia senso, quindi mi
sembra proprio da muli (oh, non mi riferisco a nessuno sia ben
chiaro!) non chiedersi certe cose...
Se poi mi dici che la tua definizione di superficie e' quella che i
matematici chiamano superficie regolare a tratti, allora tutto OK, ma
mettiamoci d' accordo.

>Io il problema di calcolare il flusso attraverso una "superficie" di
>dimensione 1.3 non me lo sono mai posto......forse non sono abbastanza
>"matematico" da farlo :)

>> In secondo luogo c'e' una questione prettamente geometrica: il fatto
>> che l' area intersecata da un cono su una superfice con normale
>> inclinata di teta con l' asse del cono sia 1/cos(teta) l' area
>> normale.

>Cosa banale da verificare nel caso che viene trattato di solito,
>ovvero quello di superfici infinitesimali (e visto che ci vuoi fare un
>integrale sopra infinitesimali lo sono). Nella definizione di angolo
>solido succede la stessa cosa.

Qua proprio mi piacerebbe sapere come si fa: mi potresti accennare
qualcosa? Grazie.

>> Fisicamente, il problema non e' rilevante: il flusso e' definito
>> proprio in funzione dell' area normale, e teta non compare affatto.
>> Pero' per mostrare il tutto matematicamente occorre introdurre teta e
>> dimostrare l' asserzione.
>> Ebbene NESSUN testo si degna di dare la benche' minima spiegazione di
>> quell' identita' geometrica.

>Perche' tutti assumono che se arrivi a fare il flusso di una carica
>hai gia' studiato gli angoli solidi e quindi hai gia' visto la
>soluzione del problema.

>> Io ho trovato (solo nel caso di coni circolari) che tale relazione non
>> e' esatta ma e' vera per l' angolo al vertice del cono tendente a
>> zero.
>> Quacuno ha altre notizie?

>Non mi e' ben chiaro che notizie cerchi, una formula nel caso di
>superficie non infinitesimale? Non dovrebbe essere difficile farne una
>usando un integrale, anche se dubito che sara' carina da leggere.

No, no. Io vorrei sapere se cio' succede anche per coni che non siano
cirolari o retti. Ad esempio per una piramide (che poi e' un "cono a
base poligonale").

>> E infine mi sono provato ad estendere il teorema di Gauss al caso in
>> cui ci siano cariche (puntiformi) localizzate esattamente sulla
>> superficie attraverso la quale si vuole calcolare il flusso.

>Non succede un casino immondo?
>Mi aspetterei che se metti la carica a distanza l e poi fai il limite
>per l->0 diverga tutto.

Questa cosa che hai detto mi sembra parecchio ingenua. E' proprio il
teorema di Gauss che ti garantisce che cio' non succede! Succederebbe,
forse, ma questa e' ad intuito, se il campo non variasse come (1/r^2).

>> Scaturiscono risultati che mi sembrano piuttosto interessanti, sia
>> teoricamente che praticamente. In particolare salta fuori un'
>> interessante indizio sull' inadeguatezza del modello puntiforme di
>> carica.

>Come hai fatto il conto?

Penso che potrei dimostrarlo, ma non ho piu' avuto tempo, usando il
teorema di cambio di variabile nell' integrale di Lebesgue.
Appena passato (o cannato) l' esame mi ci metto su.

>> Scusate il messaggio piuttosto inutile e criptico (ho pochissimo
>> tempo), ma ho perso giorni preziosi dietro a queste puntigliosita' e
>> probabilmente per questo faro' un esame di Fisica II veramente
>> letamoso. Almeno annoio qualcun altro, no? :-)

>Grazie della noia :)

Grazie a te della disponibilita'.

>> Comunque l' argomento mi interessa parecchio, se qualcuno avesse
>> informazioni al riguardo glie ne sarei grato.

>Beh, un po' di informazioni noiose te le ho passate... ;)

>Ciao,
>Alberto
>--

Ciao, JrD.
P.s: ho cambiato account per postare perche' TIN ci metteva un giorno
a postare.
Received on Mon Oct 11 1999 - 00:00:00 CEST