Re: Integrali di Lebesgue

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/09/29

Giovanni D. wrote:
>
> Nel thread relativo a quelle domande che ponevo circa il c.d.l. in
> fisica, a proposito dello studio dell'analisi, si sono tirati in ballo
> gli integrali di Lebesgue (che mi sembra di aver capito si studino a
> fisica ma non a ingegneria...poi qualcuno ha confutato questa
> affermazione...)
>
> Cosa hanno di speciale questi fantomatici "integrali di Lebesgue"?
> Perche' sono diversi e perche' sono migliori degli integrali
> "tradizionali"?
> Perche' sono cosi' importanti per i fisici?
>
> Grazie
> Ciao
> Giovanni


 La storia sarebbe un po' lunga. La misura [prima si misurano gli
 insiemi su cui sono defineite le funzioni e poi si passa all'
 integrazione di queste] di Lebesgue ha delle migliori
 proprieta' rispetto a quella di Riemann, in particolare la cosiddetta
 "sigma additivita'". Per esempio una retta su un piano non e'misurabile
 secondo la misura piana di Riemann, mentre l'intuizione ci dice che,
 essendo la retta di dimensione inferiore a quella del piano, la sua
 misura dovrebbe essere zero. Per la misura di Lebesgue tale misura
 e' infatti nulla (ed e' una conseguenza immediata dela sigma
 additivita' suddetta). In ogni caso, (sotto semplici ipotesi del tipo
 la limitatezza e la continuita' eccetto un numero finito di punti)
 quando una funzione e' integrabile in modulo secondo
 Riemann (integrale proprio) e' anche integrabile secondo
 lebesgue ed i due integrali coincidono. Inoltre, per le applicazioni
 alla fisica, se una funzione e' divergente in qualche punto o il
 dominio di integrazione e' infinito e la funzione e quasi ovunque
 continua (nel senso di Riemann) ed e'
 integrabile secondo lebesgue, allora e' integrabile in senso
 "improprio" seconso Riemann e i due integrali coincidono (questo fatto
 permette di eliminare il problema della verifica dell'indipendenza
 dalla classe di insiemi invadenti il dominio d'integrazione).
 Infine la misura di Lebesgue consente di definire dei particolari
 "spazi di funzioni" che hanno la proprieta'
 della "completezza" (non l'avrebbero usando l'integrale di
 Riemann) questi spazi sono essenziali per costruire la meccanica
 quantistica, ma anche piu' banalmente, per fondare in maniera rigorosa
 la teoria della trasformata e della serie di Fourier...

 Per fare un esempio della diversita' tra i due integrali:
 la funzione di Dirichelet che vale uno sui razionali e zero sugli
 irrazionali, definita su [0,1], non e' integrabile secondo Riemann,
 invece e'integrabile secondo Lebesgue e il suo integrale vale zero.


 Ciao, Valter
Received on Wed Sep 29 1999 - 00:00:00 CEST