Re: Integrali di Lebesgue

From: Marco Salvi <marcos_at_cadvlsi1.df.unibo.it>
Date: 1999/09/29

On 28-Set-99 14:33:54, Giovanni D. said about Integrali di Lebesgue:

>Cosa hanno di speciale questi fantomatici "integrali di Lebesgue"?
>Perche' sono diversi e perche' sono migliori degli integrali
>"tradizionali"?
>Perche' sono cosi' importanti per i fisici?

L'integrale di Lebesgue e' importante perche' e'
molto piu' potente di quello di Riemann.
Permette di dimostrare numerorosi teoremi (es.derivazione
sotto segno di integrale) con ipotesti molto piu' generali
degli stessi teoremi sviluppati sotto l'integrale di
Riemann.
I matematici si sono sempre divertiti ad invenventare funzioni
'patologiche' per mettere alla prova determinate teorie.
L'integrazione secondo Riemann e' alquanto impotente su insiemi
appena poco piu' 'complicati' di un insieme aperto o chiuso.
Ad esempio,se non ricordo male, tutti gli insiemi la cui frontiera non ha
misura nulla non sono integrabili secondo Riemann, ma lo sono
secondo Lebesgue.
Questo e' dovuto al modo in cui i 2 integrali sono costruiti.
Lebesgue approssima la misura di un insieme con successioni
di insiemi aperti quando approssima 'da fuori' e compatti quando
approssima 'da dentro'.
Mentre Riemann credo faccia proprio l'opposto..tralasciando quindi
la frontiera dell'insieme che in molti casi e' di fondamentale
importanza.
Poi..quando si passa dalla misura degli insiemi alla misura
di funzioni definite su insiemi misurabili (nel senso di Lebesgue o
di Riemann) Lebesgue approssima la funziona da misurare con
combinazioni lineari di insiemi misurabili..mentre Riemann con
combinazioni lineari di funzioni semplici..il che rende il
secoondo integrale molto meno flessibile.
Tutto questo poi si riflette nei teoremi che e' possibile
estrapolare da queste 2 teorie, come gia' detto in precedenza,
quelli sviluppati sotto Lebesgue sono molto piu' potenti.
Ovviamente ogni funzione (o insieme) Riemann-misurabile e'
anche Lebesgue-misurabile, e le misure sono uguali.
Ovviamente non vale l'inverso :)
Spero di essere stato chiaro e non di non avere scritto
troppe castronerie..

ciao,
Marco
Received on Wed Sep 29 1999 - 00:00:00 CEST