Gruppo di Galilei

From: Wentu <il_wentu_at_mailexcite.com>
Date: 1999/10/04

Un altro aiutone vi chiedo.
Si parla della rappresentazione del gruppo di Galilei con gli
operatori di rototraslazione, traslazione temporale e boost
galileiani. Se g � un elemento del gruppo di Galilei determinato dalla
rotazione R, traslazione spaziale a, velocit� v e traslazione
temporale � ( non uso la lettera tau o non leggete nulla... ) sono
arrivato a capire che U(g1)U(g2) composti non danno U(g1,g2) ma c'� in
mezzo il solito fattore di fase w(g1,g2) che nel caso del gruppo di
Galilei pare ineliminabile perch� viene a dipendere dalla M del
sistema. Sin qui ci sono ( anche se magari l'ho scritto in modo
brutale ). Ora il libro dice che la struttura proiettiva sarebbe
eliminabile se M = 0 ma ci� non � possibile. E a me quest starebbe
benissimo e sarei contento. Ma aggiunge : per conincersene basta
esaminare le relazioni di commutazione fra i vari genratori delle
traslazioni. wow !! Se prima ero convinto ora sono nel buio. Elenca
queste nove relazioni : ( G = tP - MX � il generatore dei boost
galileiani )
a) [Pa,Pb] = 0
b) [Ga,Gb] = 0
c) [Pa,Gb] = i M delta ( a,b )
d)[H,Pa]= 0
e) [H, Ja ] = 0
f ) [ Ja , Pb ] = i Ricci ( a,b,c) Pc
g ) [ Ja , Gb ] = i Ricci ( a,b,c) Gc
h) [ Ja , Jb ] = i Ricci ( a,b,c) Jc
i) [ H, Ga ] = i Pa

dove Ricci () sta per il solito simbolo epsilon ... insomma avete
capito...

Prima frase sibillina : L'unica relazione di commutazione con
estensione centrale � la relazione c) tra i generatori dei boost e
delle traslazioni spaziali, i quali commutano al livello dell'algebra
di Lie astratta.
wow !!
Intanto dico che l'idea che ho dei gruppi e dell'algebra di Lie �
piuttosto vaga.
Pensando di volerlo spiegare in soldoni direi cos� :
 Un gruppo � di Lie quando � continuo ed esaminando gli elementi
vicino all'elemento unit� ( o identit� ) troviamo che questi fatti :
si prendono in considerazione le funzioni analitiche e si sottopongono
a una trasformazione infinitesimale.ne descriviamo il cambiamento con
degli operatori Xk che costituiscono l'algebra di Lie. SE questi
operatori formano uno spazio linere, per ogni loro copia � definito il
loro commutatore ed appartiene all'algebra ed � soddisfatta l'identit�
di jacobi, ALLORA il gruppo � di Lie.

Ci si accorge che non ho mai fatto teoria dei gruppi lo so... e non
sono tenuto a saperla a questo livello ... ma parlare solo di gruppi
di Lie senza sapere cosa sono non mi pare giusto. Vorrei capirli
appena. Mi aiutate ? ....
Ma non ho finito ! Ricordate la frase sibillina ? Ebbene P e G hanno
come commutatore qualcosa diverso da zero ma mi si viene a dire che
essi commutano a livello dell'algebra di Lie.... non capisco...
Lasciamo perdere il discorso in mezzo a questa pagina infernale che
davvero mi ci vorrebbero 20 NG per spiegarmelo... ma dopo conti
asdrusi si asserisce : abbiamo verificato che ogni rappresentazione
del gruppo di Galilei � riconducibile ad una forma i cui generatori
soddisfano alle relazioni a-i ) che vi ho riportato sopra.
Accetto la dimostrazione per fatta e spero non me la chiedano ma ...
avreste delle specie di illuminazioni da darmi per farmi capire
l'importanza dell'avere elencato queste relazioni ? Io speravo di
poter saltare questa parte e preoccuparmi della regola si
Superselezione di bargmann enunciata dopo che mi pare di avere capito
nella sua essenza. Ma appunto desidererei essere illuminato su questo
fatto di " M come costante caratteristica dell'estensione centrale " .
Credo non mi sia chiaro il termine "estensione centrale" ...

Grazie di cuore... ogni punto sopra il 20 ve lo dedichero' ...

Wen(t) U
Received on Mon Oct 04 1999 - 00:00:00 CEST