Re: Integrali di Lebesgue

From: Fabio Cagnetti <fcagn_at_tin.it>
Date: 1999/09/30

Attenzione.
Mentre nell'ambito delle funzioni generalmente continue, per l'integrale di
Riemann l'R-integrabilit� del modulo di f implica la R-integrabilit� di f,
nell'integrale di Lebesgue le due condizioni sono evidentemente equivalenti
(per la stessa def. di L-integrabilit�).
Perci� potrebbe esistere l'integrale di Riemann ma non quello di Lebesgue:
quindi non � corretto dire, semplicemente, che l'integrale di Lebesgue � una
semplice estensione dell'integrale di Riemann. L'esempio pi� comune � la
funzione sinc(x)

Sia sinc(x)=sin(x)/x. Questa funzione � R-integrabile in (-inf,+inf) e vale
pigreco. Ma NON � L-integrabile: infatti si dimostra (es.: nucleo di
Dirichelet per le sere di Fourier... vedi RUDIN o qualche altro libro di
analisi) che l'integrale in (0,+inf) di |sin(x)|/x (tanto � pari) �
divergente perch� pari alla somma di una serie armonica generalizzata
divergente.

Ancora y=cos(x^2) e trovi un risultato analogo.


Non trovo molto corretto quello che ha scritto Mei (non ti arrabbiare, Mei
;-) )
�Essi in particolare ne estendono l'utilizzo a funzioni molto piu'
generiche.
Infatti mentre negli integrali "normali" erano integrabili solo le funzioni
"continue" nella teoria della misura di Lebesgue diventano integrabili per
esempio anche funzioni "non continue ovunque" ...�

Ti confesso che inizialmente ho perso questo passaggio della risposta di
Moretti, ma te lo dice chiaramente:
�se una funzione e' divergente in qualche punto o il
dominio di integrazione e' infinito e la funzione e quasi ovunque
continua (nel senso di Riemann) ed e'
integrabile secondo lebesgue, allora e' integrabile in senso
"improprio" seconso Riemann e i due integrali coincidono...�


Ciao

P.S.: chi ha detto che gli ingegneri non sanno la teoria di Lebesgue? Bah...

Giovanni D. ha scritto nel messaggio
<7sq3v5$mfp$1_at_fe1.cs.interbusiness.it>...
>
>Nel thread relativo a quelle domande che ponevo circa il c.d.l. in
>fisica, a proposito dello studio dell'analisi, si sono tirati in ballo
>gli integrali di Lebesgue (che mi sembra di aver capito si studino a
>fisica ma non a ingegneria...poi qualcuno ha confutato questa
>affermazione...)
>
>Cosa hanno di speciale questi fantomatici "integrali di Lebesgue"?
>Perche' sono diversi e perche' sono migliori degli integrali
>"tradizionali"?
>Perche' sono cosi' importanti per i fisici?
>
>Grazie
>Ciao
>Giovanni
>
>
>
>
>
Received on Thu Sep 30 1999 - 00:00:00 CEST