Re: Problema sul pendolo balistico

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/10/05

Marco Coletti wrote:
>
> Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it> wrote:
>
> >La conservazione detta ti permette di ricavare la velocita' iniziale
> >del pendolo immediatamente dopo l'urto in funzione della velocita'
> >iniziale del proiettile... A quel punto hai un pendolo
> >che parte con una velocita' iniziale nota e devi risolvere
> >il problema di quale sia tale velocita' minima affinche' il pendolo
> >faccia il giro. Questo dovresti saperlo fare da solo no?
>
> Se ti riferisci a eqz dinamiche del moto, mi pare pi� elegante osservare
> semplicemente che il pendolo deve avere l'energia cinetica appena sufficiente a
> raggiungere il punto morto superiore, al quale � associata l'energia potenziale
> che sappiamo...
>


 Ciao, non ho capito bene cosa intendi.

Comunque mi pare che le sole considerazioni energetiche non siano
sufficienti a risolvere il problema, perche' l'equazione dell' energia
non "conosce" come e' fatto il vincolo... Vabbe' non volevo dare la
soluzioni per ragioni didattiche ma ora dico come farei io.

L'unico modo convincente che conosco io per risolvere il problema della
velocita' iniziale minima da dare al pendolo (con filo) per "fargli fare
il giro" e' quello di assumere che il pendolo faccia il giro ed usare
insieme l'equazione della dinamica lungo la direzione radiale e la
conservazione dell'energia.

Si ottiene allora *nel punto di massimo*:

MV^2/L = T + Mg (1)

e questa e' la proiezione di F = Ma lungo la direzione radiale uscente
essendo: V il modulo della velocita' del pendolo in verticale nel
punto di massimo a corda tesa, M la massa, L la lunghezza della corda e
g l'accelerazione gravitazionale.

C'e' l'ovvio vincolo *unilatero* dovuto al filo che puo' solo tirare
ma non spingere, che gioca il ruolo *essenziale* nel risolvere il
problema:

T maggiore o uguale a 0 (*)

[Notare che se il vincolo non fosse unilatero ma bilatero (per esempio
se al posto del pendolo avessimo un carrello vincolato completamente sui
binari, senza sganciarsi nemmeno a "testa in giu'" oppure un pendolo con
un asta rigida invece del filo) il problema avrebbe una soluzione
diversa perche' la condizione (*) non sussisterebbe, vedi sotto]

Dall'equazione dell'energia troviamo invece, ponendo a zero
l'energia potenziale gravitazionale nel punto di minimo del pendolo:

(1/2)Mv^2 = (1/2)MV^2 + 2LMg (2)

v e' il modulo della velocita' iniziale (orizzontale) nel punto di
minimo.

(1) e (2) conducono subito a, eliminando V

v^2 = 5 Lg + LT/M

da cui

v = sqr{5 Lg + LT/M}

il vincolo (*) ci dice che il valore minimo possibile e' quello che si
ottiene per T=0 e si ha

v = sqr{5Lg}

Notare che, come deve essere, la velocita' nel punto piu' alto e' ora
diversa da zero e vale V = sqr{Lg}.

Forse c'e' un metodo piu' rapido, ma questo e' per me quello piu'
convencente.


NB: Se il vincolo fosse bilatero, la soluzione sarebbe diversa. In tal
caso la soluzione si otterebbe ponendo V=0 nell' equazione dell'
energia (2). E questo e' possibile perche' anche con V=0, nel punto di
massimo avremmo una T negativa (con le nostre convenzioni!) che
sosterrebbe l'oggetto!
Dal punto di vista energetico pero' l'equazione (2) sarebbe sempre la
stessa. Per questo motivo non mi sembra possibile risolvere il problema
usando solo l'energia: ho appena trovato due problemi con soluzioni
*diverse* e con equazioni energetiche *uguali*!

Ciao, Valter
Received on Tue Oct 05 1999 - 00:00:00 CEST