Re: Gruppo di Galilei

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/10/07

Mauro RICCARDI wrote:
>
> Valter Moretti wrote:
>
> > Se g e g' sono elementi del gruppo di trasformazioni G che ti interessa
> > rappresentare quantisticamente, e Ug e Ug' sono gli operatori unitari
> > (sono sempre unitari se il gruppo e' di Lie connesso)
>
> Scusa, Valter, ma non e' che volevi dire compatto invece di connesso ? Se
> non mi sbaglio i gruppi compatti hanno rappresentazioni sempre equivalenti
> a rappresentazioni unitarie; invece (ad occhio) non mi sembra possibile
> che un gruppo di Lie possa essere non connesso ... (magari
> molteplicemente, ma mi sembra connesso). Se mi sbaglio, please, correggimi
> (entra pure nei dettagli se vuoi :)).
>
> grazie per lattenzione
> bye mr



Ciao, dipende dalla definizione che dai di gruppo di Lie. Per esempio,
O(3) e' un gruppo di Lie per te? Se lo e' non e' connesso, ma ha
due componenti connesse, una e' SO(3) e l'altra e' P(SO(3)) dove
P e' la matrice 3X3 -I (inversione di parita'). Se il gruppo e'
connesso allora e' connesso per archi e preso un elemento del
gruppo g lo posso sempre connettere attraverso un arco con l'elemento
identita'. Quando rappresento unitariamente il gruppo, sicuramente
l'identita' e diventera' l'identita' I agente sullo spazio di Hilbert
che e' per sua natura *unitaria*. Per ragioni di continuita' lungo
il cammino di cui sopra (che esiste perche' il gruppo e' connesso),
se g e' rappresentabile unitariamente, Ug sara' anch'esso unitario!
Pero' se g non appartiene alla stessa componente connessa dell'
identita', non e' affatto detto che Ug, se esiste, sia unitaria.

Se prendi il gruppo di Lorentz (tutto, non solo quello ortocrono
proprio), questo ha 4 componenti connesse legate
all'azione delle due matrici 4 X 4 P e T (inversione di parita' e
inversione del tempo definite nel solito modo).
La componente connessa che contiene l'identita' (l'unica che e'
sottogruppo) e' rappresentabile con operatori unitari, mentre le due che
contengono l'inversione temporale (T e TP) non lo sono, infatti la
rappresentazione di T e antiunitaria come sai bene.

Puo' darsi che la compattezza serva come ipotesi tecnica in qualche
versione del teorema che ho tracciato sopra, ma sicuramente la
proprieta' di essere connesso e piu' importante.
Inoltre la compattezza non e' sicuramente necessaria in quanto per
esempio il gruppo ortocrono proprio di Lorentz e' *non compatto* ed e'
rappresentabile unitariamente.


Ciao, valter
Received on Thu Oct 07 1999 - 00:00:00 CEST