Re: Gruppo di Galilei

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/10/07

Ciao, ho controllato un po' sui miei appunti di quando studiavo queste
belle cose.

Il teorema, nella sua forma piu' forte e' diretta conseguenza del
seguente notevole lemma che evita anche di usare gli archi:

"sia G gruppo topologico (cioe' uno spazio topologico con struttura di
gruppo in cui le operazioni di moltiplicazione e inverso siano continue)
CONNESSO, allora, per ogni intorno E dell' identita', per ogni elemento
g di G, esiste un insieme di elementi g1,g2,...,gN in E
tale che

g = g1 � g2 � .... � gN "

(Lascio la dimostrazione per esercizio :-) )

Considera ora che se G e' piu' fortemente un gruppo di Lie, allora c'e'
un intorno J dell' identita' in cui ogni elemento e' l'immagine di un
gruppo locale ad un parametro per qualche valore del parametro.

In tale intorno ogni elemento e' *il quadrato* di un altro elemento,
infatti, se g e' in J allora g = h(t) per qualche t in R e per qualche
gruppo ad un parametro t |-> h(t), quindi g = h(t/2) � h(t/2).

Allora abbiamo subito la prova del nostro teorema:

"Sia G gruppo di Lie che ammette una rappresentazione tramite
 operatori unitari o antiunitari. Se G e' connesso allora la
 rappresentazione e' necessariamente data da operatori unitari."


                               Prova.


Prendimo nel lemma di sopra E = J.
Sia quindi g in G arbitrario, esso sara' dato dal prodotto

g = h1^2 � h2^2 � .... � hN^2

se ammettiamo che il gruppo G sia rappresentabile tramite operatori
unitari o antiunitari si ha che per ogni g in G esiste l'operatore
unitario o antiunitario Ug e che, per definizione di rappresentazione,

Ug = U(h1^2) U(h2^2) .... U(hN^2) =
   = U(h1)U(h1) U(h2)U(h2) ... U(hN)U(hN)

Dato che *il quadrato di un operatore antiunitario e' comunque
unitario*, Ug e' unitario. QED

Nota che non ho usato nessuna ipotesi di continuita' della
rappresentazione mentre la connessione e' stata fondamentale.
(La compattezza e' assunta solo localmente nella definizione di
gruppo di Lie essendo, come varieta'differenziabile, localmente
omeomorfo ad un R^n).

Ciao, Valter
Received on Thu Oct 07 1999 - 00:00:00 CEST