Re: Entropia e meccanica quantistica (WAS Re: La fisica moderna e' strana? (WAS Re: Vi prego , aiutatemi!

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: 1999/10/07

lunogled_at_hotmail.com wrote:
>

> ...
>
> Non riesco ancora a capire che differenza "fondamentale"
> ci sia, nella meccanica classica,
> fra un "microstato distinguibile" e un macrostato.
>
IN MC.
Un microstato e' dato quando ho assegnato il valore di tutte le
variabili che mi permettono di determinare in modo non ambiguo cosa
fara' il sistema. Per di N particelle in un volume V, l' assegnazione di
tutte le posizioni e momenti ad un certo istante. Devo anche aggiungere
che questa definizione e' coerente con la derivazione della
termodinamica dalla meccanica statistica sono finche' non si va ad
indagare sulla dipendenza dal numero di particelle. In quest' ultimo
caso occorre apportare una piccola modifica di cui parlero' piu' avanti.

Un macrostato e' dato quando ho specificato un insieme di variabili atte
a determinare lo stato medio macroscopico del sistema. Per un sistema
all' equilibrio puoi considerare macrostato coincidente con la nozione
di ststo termodinamico. Per intenderci, se hai a che fare con un gas, un
macrostato potrebbe essere caratterizzato da caratterizzato da (N,V,E).

Quello che cambia se usi la MQ e' la definizione di microstato. In
questo caso si tratta ancora dell' assegnazione di tutti i parametri che
mi permettono di determinare in modo non ambiguo cosa fara' il sistema.
Per il gas di cui sopra dovrei assegnare una delle autofunzioni dell'
equazione di Schroedinger per N particelle con autovalore E.

Il tuo esempio di microstato con tutta l' energia assegnata ad una
particella oppure equidistribuita non funziona ne' nel caso classico ne'
in quello quantistico (a meno di lavorare in un mondo ad una dimensione)
perche' assegnare l' energia delle singole particelle non ti permette di
determinare cosa faranno. P.es; se si tratta di un gas perfetto
classico, l' energia di una paricella e' data da p^2/(2m) dove p e' il
modulo del vettore momento. Se fissi l' energia, questo ti fissa solo il
modulo di p. Ma di vettori con lo stesso p ce ne sono tanti
(strettamente parlando infiniti).

Naturalmente il motivo del non funzionamento non e' un problema di
estetica della definizione ma collegato al fatto che solo se si da' la
definizione appropriata di microstato ha poi senso attribuire la stessa
probabilita' ai microstati ad energia costante!

...
> Se pero' l'osservatore puo fare osservazioni piu' dettagliate, 1
> e 2 sarebbero senz'altro considerati come macrostati diversi con
> entropie diverse.

No, attenzione a non fare un errore concettuale. L' entropia non e' una
quantita' meccanica. Non esiste l' entropia di uno (micro)stato. La
definiziona statistica prevede l' assegnazione dell' entropia solo ai
macrostati definiti come sopra.
>


>
> > L' indistinguibilita' ha a che fare con l' espressione dell' entropia
> > per certi sistemi classici ma non e' condizione necessaria per poterla
> > definire. Quello che la statistica classica richiede per una
> definizione
> > sensata di entropia per un sistema di N particelle identiche
> > indistinguibili e' che i microstati da utilizzare per calcolare le
> medie
> > statistiche siano pesati con un opportuno fattore (1/N!). Si puo'
> > giustificare questo peso come caso limite delle formule quantistiche
> ma
> > logicamente potrebbe essere introdotto come piccola modifica dell'
> > ipotesi di equiprobabilita' dei volumetti dello spazio delle fasi nel
> > momento in cui si e' interessati a fare confronti di termodinamica per
> > sistemi con numero diverso di particelle.
>
> Scusa, ma potresti chiarirmi cosa vuoi dire, qui'?
> Se nella meccanica classica non sono possibili particelle
> indistinguibili, allora neanche "l'entropia per un sistema di N
> particelle
> identiche e indistinguibili" puo essere definita nella M.C.

OK, sono andato un po' in fretta su un terreno delicato!
Dal punto di vista meccanico classico, i microstati di N particelle
identiche (caratterizzate dagli stessi parametri fisici di massa,
carica, etc) sono individuati dalle 6N-ple x_i,y_i,z_i,px_i,py_i,pz_i.
Microstati che corrispondono agli stessi valori numerici dell 6N
variabili ma differiscono solo per uno "scambio" delle "etichette"
numeriche sarebberi sistemi dinamici diversi perche' corrsipondenti a
traiettorie diverse nello spazio delle fasi. Tuttavia ci si rende conto
con qualche calcolo che se consideriamo come differenti microstati
statistici quei microstati dinamici ch'e differiscono solo per un cambio
di etichette, non riusciamo ad arrivare ad un' entropia con la
proprieta' (desiderata) di additivita' (l' entropia di della unione di
due sottosistemi deve essere la somma delle entropie dei due.

Un modo per risolvere i problemi e' quello proposto da Gibbs:
considerare, ai fini delle medie statistiche, come un unico microstato
tutti gli N! microstati dinamici che differiscono solo per permutazioni
degli indici delle particelle identiche.

A questo punto, nei testi di meccanica statistica si comincia a parlare
di particelle classiche indistinguibili. Il senso e' unicamente questo.

> >.... Ho gia' detto che posso definire questi volumetti in modo
> > essenzialmente arbitrario anche se conoscessi posizioni e velocita' in
> > modo esatto.
>
> Ma in questo caso i calcoli statistici non ti forniranno nessuna
> informazione utile.
> Quello che intendevo prima e che, perche' la tua definizione di entropia
> sia in qualche modo utile, il volumetto deve essere piu' piccolo
> dell'errore con cui puoi localizzare la posizione del sistema nello
> spazio di fase.

Perche' ? Intendo dire, qual'l la connessione con l' entropia? In un
sistema classico posso senza dubbio localizzare con precisione
arbitraria nello spazio delle fasi. Cio' non toglie che quale che sia la
possibilita' di localizzazione, la formula statistica continui a
funzionare nel darmi una funzione entropia.
>

>
> Mi pare di capire che la tua "formulazione classica" della 2nda legge
> e' semplicemente che il sistema tendera' a muoversi verso il macrostato
> con il maggior volume sul diagramma di fase.

Esatto.

> Sono d'accordo, ma continuo a non capire cosa impedisca, in linea di
> principio,
> ad un'osservatore "infinitamente preciso" di considerare ogni
> microstato distinguibile come macro-stato, rendendo nulla
> la definizione di entropia che hai dato.

Infatti. Come ho scritto sopra, non ha senso definire l' entropia del
microstato semplicemente perche non sarebbe una quantita' con le stesse
proprieta' dell' entropia termodinamica.

Un microstato puo' sicuramente essere qualificato come ordinato o
disordinato ma questo non implica una direzione privilegiata dell'
evoluzione statistica. Quello che fa la differenza a livello di
quantita' medie e' se un insieme di macrostati con certe
caratteristiche e' piu' o meno frequente. E questo lo dice il numero dei
microstati corrispondenti.

Ciao

Giorgio
Received on Thu Oct 07 1999 - 00:00:00 CEST