Marco Coletti wrote:
>
> Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it> wrote:
>
> >Io non sono d'accordo che ci voglia la dimensione in piu' per "concepire
> >mentalmente" la curvatura.
> [cut]
> >Una varieta' curva e' una varieta' dove c'e' qualche vettore che
> >"trasportato parallelamente" ad un percorso chiuso non ritorna alla sua
> >posizione iniziale.
>
> Confesso di avere poca familiarit� con le variet� multidimensionali... ci ho
> capito poco.
> Esiste un esempio di ci� sulla superficie sferica immersa nello spazio euclideo
> a 3 dimensioni?
>
Si, considera una sfera immersa nello spazio euclideo ed un percorso
chiuso costituito da 3 pezzi di geodetica: un "triangolo"
costituito una segmento di equatore e, agli estremi, due semimeridiani
che si intersecano sul polo nord. Ora prendi un vettore tangente all'
equatore e trasportalo lungo il lato equatoriale per esempio in senso
antiorario in modo che il vettore rimanga parallelo all'equatore.
Arrivato alla fine del segmento equatoriale trasportalo lungo il
semimeridiano fino al polo nord, avendo l'accortezza che l'angolo tra il
vettore e il meridino rimanga lo stesso (uguale a quello che si ha
appena il vettore passa sul semimeridino dal segmento equatoriale).
Infine fai la stessa cosa lungo il secondo semimeridiano dal polo
all'equatore. E' facile convencersi che il vettore che si ottiene alla
fine del percorso NON ha la stessa inclinazione rispetto a quello
iniziale sull'equatore. Se il triangolo ha tre angoli retti, cio' e'
particolarmente evidente e l'angolo tra il vettore iniziale e
quello finale e' di 90 gradi.
> >Una varieta' e' curva se osservo la "spostamento
> >geodetico" (goedetiche lanciate da punti vicini parallelamente tendono a
> >non essere piu' parallele).
>
> Anche qui ci capisco poco.
> Tra l'altro non riesco a immaginarmi due geodetiche "inizialmente parallele"
> che passano per due punti vicini sulla superficie sferica bidimensionale: puoi
> esplicitare in questo caso particolare?
>
Qui e' un po' piu' difficile e ci vuole piu' formalismo (mi rendo conto
che quanto ho scritto non e' affatto chiaro). Cerco di essere abbastanza
preciso senza entrare in calcoli.
Ovviamente sulla sfera non esistono a rigore due geodetiche che partono
da punti vicini e che sono parallele inizialemnte, pero' possiamo
rendere i punti iniziali delle geodetiche vicini a piacere e
contemporaneamente l'angolo tra i vettori iniziali piccolo a piacere.
(In pratica si considera una famiglia di geodetiche etichettate in
maniera regolare con un parametro e si lavora in un intorno di un
fissato valore del parametro). Queste geodetiche tenderanno comunque a
divergere, pero' la divergenza e' diversa da quella che avremmo su un
piano, ecco perche'.
E' possibile misurare la *velocita'* di questa divergenza in funzione
della lunghezza geodetica (di una delle due geodetiche), quindi
si puo' misurare anche l'*accelerazione* di questa divergenza.
Orbene, si puo' provare che l'*accelerazione* e' nulla se e solo se
lo spazio e' piatto. Sulla sfera si riscontra accelerazione, sul piano
no. In questo senso la divergenza sulla sfera e' maggiore o minore di
quella "imposta" dalla divergenza dei vettori iniziale.
Sul piano e' abbastanza evidente, se ci rifletti un attimo, che non c'e'
accelerazione di questo genere (essenzialmente per il teorema di Talete)
e la divergenza rimane uguale a quella imposta dalla divergenza dei
vettori iniziali, sulla sfera invece si capisce che c'e' accelerazione.
In effetti l'accelerazione determina completamente quello che si chiama
tensore di Riemann della varieta' che e' nullo se e solo se la varieta'
e' piatta (in tutti i sensi possibili).
> >Riguardo alla "matematica o la struttura del pensiero" non capisco bene
> >cosa vuoi dire.
>
> Voglio dire se abbia pi� diritto a essere considerato "reale" (nel senso della
> esistenza ontologica) un concetto matematicamente sensato oppure un concetto
> mentalmente intuitivo.
>
La mia opinione e' la seguente. Dire cosa sia "reale" e' forse una
chimera per vari motivi epistemologici. Tuttavia se devo decidere,
nell'ambito delle applicazioni alla fisica, se e' "piu'" reale (N.B. NON
dico "reale") un concetto matematicamente sensato oppure un concetto
mentalmente intuitivo, sono per la prima ipotesi. Perche' l'intuizione
mentale non e' assoluta e viene deformata e arricchita proprio dall'uso
degli stumenti matematici. Per esempio, per qualunque fisico teorico
certi concetti inizialmente complicati che per un principiante possono
essere solo maneggiati con una rigorosa matematica diventano
"intuitivi" (proprio come per uno studente liceale e' intuitiva la
geometria euclidea piana) con l'esercizio e sono il punto di appoggio
per ulteriori passi in avanti. Ci sono infiniti esempi che potrei fare.
Per cui, dire che un concetto e' mentalemnte intuitivo, non significa
in fondo nulla di oggettivo. D'altra, per esempio, la sola intuizione
mentale porta "in maniera naturale" a rifiutare la geometria non
euclidea, mentre sappiamo che il nostro mondo e' piu' probabilemnte non
euclideo che euclideo
Ciao, Valter
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> Marco Coletti
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Received on Tue Sep 21 1999 - 00:00:00 CEST