Re: problemi di meccanica quantistica

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/09/08

Daniele Bonfiglio wrote:
>
> Ciao, vi propongo due problemi.
> 1) Una particella con spin 1/2 ha Hamiltoniana
>
> H=p2+E(Sx+Sy)
>
> Se all'istante t=0 la media di Sz � 1/2, calcolare la durata dell'intervallo
> T dopo il quale la media di Sz � -1/2.
>
> Il mio problema � che impostando l'equazione di S. id/dt u=Hu, ottengo un
> sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali, che onestamente
> non so risolvere.

Abbiamo (non metto la costante di Planck per brevita'), se |f> e'
lo stato, in rappresentazione di Heisenberg dove U(t) e' l'evolutore:

d/dt <f|Sz(t)|f> = -i <f| [Sz(t),H(t)] |f> =

-i E <f| U(-t)[Sz, Sx+Sy] U(t) |f> =

-i E <f| U(-t) (Sy - Sx) U(t) |f> = = -iE <f|Sy(t)|f> +iE <f|Sx(t)|f>


con la stessa procedura scopri che


d/dt <f|Sx(t)|f> = -i E <f|Sz(t)|f> (1)

d/dt <f|Sy(t)|f> = i E <f|Sz(t)|f> (2)

aggiungendo l'altra:

d/dt <f|Sz(t)|f> = -i E <f|Sy(t)|f> + i E <f|Sx(t)|f> (3)


Da cui

d^2/dt^2 <f|Sz(t)|f> =
-i E ( iE d/dt <f|Sz(t)|f> + iE d/dt <f|Sz(t)|f> )
 ossia

d^2/dt^2 <f|Sz(t)|f> = 2 E^2 d/dt <f|Sz(t)|f>


Questa e' l'equazione che essendo del secondo ordine necessita anche
della derivata prima della funzione incognita a t=0. Ora vediamo di
capire come e' fatto |f> per ricavare questa condizione. Mettiamoci
sulla base di Sz, deve essere

|f> = a|1/2> + b |1/2> con


|a|^2 + |b|^2 =1 (4)

inoltre c'e' la solita fase globale arbitraria.

La condizione <f|Sz|f> =1/2 e' riscrivibile

(1/2) [ |a|^2 - |b|^2 ] = 1/2

Questa insieme alla (4) fornisce

|a| = 1, |b| =0 => b=0 e la fase arbitraria puo' essere scelta
in modo che |f> = |1/2>, da cui <f|Sy(0)|f> = <f|Sx(0)|f> = 0
Sostituendo in (3) si ha

d/dt <f|Sz(0)|f> = 0

RIASSUMENDO:

devi risolvere

d^2/dt^2 <f|Sz(t)|f> = 2 E^2 d/dt <f|Sz(t)|f>

con condizioni iniziali

<f|Sz(0)|f> = 1/2

d/dt <f|Sz(0)|f> = 0

Questa la sai risolvere certamente!
Potrei avere sbagliato qualche calcolo per cui controlla tutto.
In ogni caso la procedura e' corretta. Per il secondo problema
non ho piu' tempo, almeno per oggi. Ciao, Valter
Received on Wed Sep 08 1999 - 00:00:00 CEST