Dangermouse wrote:
> Per� ehm ehm, qual'e' il sistema di equazioni differenziali che devo usare?
>
> Pensavo a un
> F = a * m1 = G * m1 * m2 / r^2
> radice(x''^2+y''^2)= G * m2 / (x^2+y^2), se m2 si trova al centro ed �
> ferma...
No, e' sbagliato. Tu stai eguagliando il modulo della forza al modulo
della velocita', ma F=ma e' una relazione vettoriale. Il modo piu'
elementare per risolvere il problema e' il seguente:
a) Riduci il problema dei due corpi a quello di un solo corpo orbitante
attorno ad un punto fisso - implicitamente lo hai gia' fatto sopra.
Basta sostituire la massa inerziale (non quella gravitazionale!) in F=ma
con la massa ridotta, definita come il reciproco della somma dei
reciproci delle masse. Nel caso del sistema terra-sole la m.r. e'
pressoche' identica alla massa terrestre, nel caso terra-luna e' circa
quella della luna, ma con una apprezzabile differenza.
b) Osservi che la forza gravitazionale e' centrale, dunque si conserva
il momento angolare L (= prodotto vettore di r e p): percio' il moto si
svolge sempre nel piano perpendicolare al vettore L.
c) Adesso il problema e' ridotto al moto in un piano, percio' dobbiamo
cercare due equazioni. Conviene passare in coord. polari, r e phi.
d) Per la ragione detta sopra, anche il modulo di L si conserva. Percio'
(1) r^2 * d phi/ dt = A = costante (e' la seconda legge di Kepler).
Questa e' la prima equazione, e A e' la prima cost. d'integrazione.
e) La seconda eq. la trovi, per esempio, scrivendo l'energia totale E =
T + V in coord. polari. Nota che T contiene un termine che dipende da d
phi/dt: e' questo che rende scorretta la tua equazione piu' sopra (il
termine addizionale e' chiamato "potenziale centrifugo"). Eliminalo in
favore di A/r^2 usando la (1). L'energia E e' la seconda cost. di
integrazione.
f) Trovi un' eq. che ti da' (2) dr/dt = una funzione di r. Nel caso
gravitazionale (e coulombiano) l'integrale e' fattibile e da' le solite
funzioni trigonometriche.
In realta' fai ancora prima a cercare la soluzione in un qualunque
testo di meccanica analitica, p. es. Goldstein, Meccanica Classica,
cap.3 discute in dettaglio il problema. Se vuoi invece sfruttare il
problema per fare un po' d'esercizio di programmazione sulle eq.diff.,
allora ti conviene scrivere direttamente F=ma in coordinate polari
(sfruttando le osservazioni a-c) e non passare per l'energia. Ottenere
le equazioni in questo modo, pero', e' un po' piu' complicato, visto che
devi scrivere le der. seconde risp . al tempo delle componenti del
vettore r e poi passarle in coordinate polari.
Se poi conosci il formalismo lagrangiano il tutto e' ancora piu'
semplice...
--
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Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it:6163/~esmargia
Received on Mon Sep 06 1999 - 00:00:00 CEST