Re: dubbio in un esercizio

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/09/02

Diego wrote:
>
> Ciao a tutti e ringrazio anticipatamente chiunque mi risponder�.
> Ho un dubbio su questo problema:
>
> Un oggetto di massa M legato ad un filo elastico di massa trascurabile
> avente lunghezza di riposo L e costante elastica K, viene fatto cadere
> partendo con una velocit� iniziale nulla. Occorre calcolare l'accelerazione
> max che l'elastico imprime al corpo.
>

Ciao, la domanda e'mal posta. L'elastico imprime una
FORZA non un'accelerazione. Inoltre l'accelerazione del corpo e' dovuta
all'azione contemporanea della forza di richiamo elastica del
filo e della forza di gravita', non ha senso fisico distinguere tra
accelerazione "impressa" dal filo e accelerazione "impressa" dalla forza
di gravita'.

 Ammettiamo che tu stia parlando della FORZA massima impressa
dal filo.


> Il procedimento che ho usato � questo: siccome l'oggetto percorre L metri in
> caduta libera acquistando una velocit� V pari a g*sqr(2L/g) --sqr indica
> radice quadrata---
> dovrebbe possedere una energia totale E= Ec+Ep dove
> Ec=1/2*M*V^2 e Ep=M*g*X ; X � l'allungamento totale della molla.
Primo
> dubbio: � corretto considerare M*g*X come energia potenziale dell'oggetto
> che ha al momento dell'inizio della distensione del filo? (Ho considerato
> Ep=0 nel punto in cui Vogg = 0
> Eguagliando E alla energia potenziale dell'elatico disteso 1/2K*X^2 si
> ottiene una equazione di secondo grado in X e da qui si pu� ricavare
> l'allungamento.

>
> Ponendo i valori al problema M=70Kg L=20m K=500N/m si ottengono 2
> valori di X, uno positivo e uno negativo(non accettabile). Secondo dubbio:
> Perch� si � ottenuto un valore negativo? Che significato ha?
>
> Quindi va beh, per concludere una volta noto lo spazio percorso, la velocit�
> iniziale e finale, siccome a=cost durante la distensione dell'elastico si
> ricava il valore di a.
>
> Ciao a tutti e ri-grazie
>
> --
> Diego
> ICQ#24534315
>
> --------------------------------------
> Per risposte rimuovere NOSPAM dall'indirizzo
> For reply remove NOSPAM from address
> --------------------------------------


Hai fatto un bel po' di pasticci!

(In particolare, l'accelerazione NON e' affatto costante durante la
distensione dell'elastico: la forza dell'elastico e' proporzionale
all'elongazione che varia, la forza di gravita' e' costante, per cui
la forza totale NON e' costante e quindi l'accelerazione, che e'
proporzionale alla somma delle forze, NON e' costante.)

Procediamo con ordine. Allora tu vuoi usare la conservazione
dell'energia, OK. Procediamo.

In un generico istante, quando il corpo si trova a distanza x>0
dal soffitto (dove e' attaccato il filo e da dove il corpo e'
lasciato cadere da fermo) verso il basso, la sua energia e'

E= Ec + Epg +Epm

dove:


Ec e' l'energia cinetica = 1/2 M v^2

Epg e' l'energia potenziale gravitazionale = -Mgx (< 0!!!)
(ho assunto lo zero dell'energia sul soffitto).

Epf e' l'energia potenziale dovuta al filo = k/2 (x-L)^2 per X>L
                                              0 per X<L
(ho assunto lo zero dell'energia quando il filo ha tensione nulla).

Al momento in cui il corpo si trova a distanza L dal soffitto
(ancora in caduta libera) si ha in particolare

Ec = 1/2 M V^2 con V= sqr(2Lg)

Epg = -MgL

Epf = 0


Quindi SEMPRE (dato che E e' conservata, trascuro gli attriti)

E = 1/2 M 2 L g - MgL = 0 (come ci si aspettava!)

Nel momento in cui il filo ha la massima elongazione X la velocita'del
corpo deve essere nuovamente nulla (altrimenti il corpo procederebbe
ancora un po' allungando ancora il filo e la sua estensione non sarebbe
massima!)

Per cui, in quel momento, se Vm e' la massima velocita', sara'

0 = E = Epg + Epf = -Mg X + (1/2)k (L-X)^2

Questa fornisce un'equazione di secondo grado in X.

k X^2 - 2(kL+mg) X + k L^2 =0

La soluzione fisicamente accettabile e' ovviamente la piu' grande
(quella piu' piccola pero' NON coincide con la posizione iniziale
del corpo, come ci si aspetterebbe, cioe' X=0, dove sappiamo per ipotesi
che il corpo ha velocita' (iniziale) nulla,
capisci perche'?)

La soluzione numerica X la ottieni sostituendo (non faccio i calcoli)
i valori che hai. Ora bisogna trovare la forza dovuta al filo
nel momento dell'elongazione massima. La forza avra' direzione pari
a quella del filo, sara' diretta verso il soffitto e avra' modulo pari a
quello dato dalla legge di Hook:

F = kX

dove X e' il risultato trovato sopra.


Ciao, Valter Moretti

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Dipartimento di Matematica
Universita' di Trento
Received on Thu Sep 02 1999 - 00:00:00 CEST