Re: Paradosso dei gemelli

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: 1999/08/15

Andrea Fortini ha scritto:
> Il paradosso viene generalmente spiegato dicendo che l'effetto di
> dilatazione temporale non e' simmetrico per i due gemelli a causa
> dell'accelerazione.
> Vorrei sapere se effettivamente un calcolo di relativita' generale
> applicato al sistema in questione porta a risultati coincidenti con
> la previsione della relativita' ristretta.
Non c'e' argomento piu' gettonato in questo NG, e se fai una ricerca in
dejanews troverai di tutto.
Ma visto che siamo a Ferragosto, voglio spendere un po' di tempo per
ripetere il mio punto di vista (non proprio soltanto mio, comunque ;-)
).

1. La RG non c'entra nulla. A mio modo d'intenderla, la RG e' la teoria
relativistica della gravitazione, ossia la riduzione della forza di
gravita' a effetto di curvatura dello spazio-tempo.
Nel cosiddetto paradosso dei gemelli non c'e' nessuna curvatura dello
spazio-tempo, ne' gravitazione in ballo. Quindi niente RG.
Storicamente l'associazione gemelli-RG nasce proprio da Einstein, che
voleva all'inizio eliminare il ruolo privilegiato dei riferimenti
inerziali, e fare quindi una fisica valida anche nei rif. accelerati.
Poi la cosa gli e' cambiata fra le mani, e la RG e' in realta'
tutt'altra cosa.

2. Puoi benissimo spiegare il paradosso restando in un rif. inerziale:
basta tener presente che il tempo segnato da un orologio e' il "tempo
proprio", dato da

dtau^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 (*) (ho messo c=1 per comodita').

Se l'orologio si muove devi sostituire x=x(t) eccetera, e trovi

dtau^2 = dt^2 (1 - vx^2 - vy^2 - vz^2) = dt^2 (1 - v^2)

dove v=v(t) e' il modulo della velocita' istantanea dell'orologio.
Per un moto che dura un tempo finito, dovrai integrare fra istante
iniziale e finale:

tau = \int_{t1}^{t2} dt \sqrt{1 - v(t)^2}

(la notazione e' TeX, ma credo sia leggibile da tutti).
E' ovvio dalla formula che tau < t2 - t1, ossia che l'orologio in moto
segna meno di quello fermo.

3. La tua domanda si puo' esprimere cosi': posso rifare il calcolo in un
rif. solidale con l'orologio in moto? Come si fa?
La risposta e' che nel caso generale non si fa in modo semplice, ma ti
posso dire la tecnica, solo per mostrarti che e' un lavoro inutile.
Dovresti prima di tutto trovare la trasf. di coordinate dal rif.
inerziale a quello (non inerziale) solidale con l'orologio in moto.
Indichiamo con t', x', y, z' queste coordinate.
Poi dovresti scrivere l'espressione della metrica (*) in queste
coordinate (semplice sostituzione, visto che dtau^2 e' invariante).
Infine dovresti calcolare il tempo segnato dai due orologi usando questa
metrica. Dato che il tempo proprio e' invariante, non potrai che
ottenere lo stesso risultato.
Percio': chi te lo fa fare?
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Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
Received on Sun Aug 15 1999 - 00:00:00 CEST