Chiarimenti sugli spazi multidimensionali...

From: Fabio Ceccarelli <fabio1_at_linet.it>
Date: 1999/07/28

Salve a tutti.

Mi scuso per non aver risposto subito a Mauro RICCARDI e a Paolo Pedaletti,
ma negli ultimi giorni sono stato un p� indaffarato.

Mi scuso anche per la lunghezza "esagerata" di questo post... ma,
evidentemente, in precedenza, sono stato poco chiaro.

In questo messaggio, cercher� di spiegare meglio ci� che intendo con
"quasi-ortogonalit�"; in questo modo spero di rispondere sia a Mauro
RICCARDI che a Paolo Pedaletti.

Il mio ragionamento parte dalla seguente constatazione: fin dallo studio
della fisica classica, chi ci autorizza a "disegnare" i diagrammi S-T su un
sistema di riferimento cartesiano ortogonale?
In altre parole, ci� che intendo dire � che noi siamo abituati ad usare
questi diagrammi S-T, senza chiederci perch� scegliamo un sistema di
riferimento ortogonale. Da un punto di vista algebrico, io posso scegliere
una base di vettori non-ortogonale, (tra loro linearmente indipendenti) e
rappresentare in questo sistema tutti i diagrammi S-T. Io credo che il
motivo principale che ha spinto i nostri predecessori ad usare un sistema
ortogonale � la semplicit� di calcolo. Infatti, le equazioni che ne derivano
hanno una semplicit� notevole se confrontate con un sistema non ortogonale.
Per� da questo fatto, nasce un'implicita conseguenza... considerare
realmente lo spazio e il tempo come se fossero davvero ortogonali.
A questo punto mi sono chiesto: ma che cos'� l'ortogonalit�? Ed inoltre: �
possibile estendere il concetto di ortogonalit� ad uno spazio ad "n"
dimensioni?
Ho cercato di ridefinire tale concetto in chiave pi� astratta e il risultato
a quale sono pervenuto � il seguente: due o pi� dimensioni sono tra loro
ortogonali, quando dalla loro intersezione, lo spazio (di dimensione "n") a
cui esse appartengono viene suddiviso in "2^n" parti uguali. Ad esempio
l'intersezione di un punto con una retta, fa s� che il punto stesso divida
la retta in 2 parti uguali (punto: dimensione zero, retta: dimensione
uno... 2^1). L'intersezione di due rette (tra loro ortogonali) suddivide il
piano in 2^2 (quattro) parti uguali. L'intersezione di tre rette (tra loro
ortogonali), suddivide lo spazio in 2^3 (otto) parti uguali.
Se agginugo una quarta dimensione (e la ipotizzo ortogonale alle
precedenti), questa dovr� suddividere lo spazio-tempo in 2^4 (sedici) parti
uguali... altrimenti non � ortogonale! E' qui il punto cruciale! Il tempo
dovrebbe dividere lo spazio-tempo in parti uguali! Ci� significa che per una
particella qualsiasi dovrebbe essere indifferente un movimento nel futuro o
nel passato. Per�, difatto, le particelle si muovono solo verso il futuro...
Allora c'� da supporre che l'ipotesi di partenza (spazio e tempo ortogonali)
fosse sbagliata...
Bene allora a questo punto riprendiamo il discorso dal diagramma S-T.
Innanzittutto poniamoci in una regione spazio-tempo non influenzata da
grandi masse, al fine di rendere trascurabile l'effetto della curvatura
spazio-tempo indotta da quest'ultime. In tale regione, non dovrebbe essere
errato applicare la geometria euclidea (cos� come non � sbagliato applicarla
sul nostro pianeta :-) ). In questo caso, non c'� alcun bisogno di
utilizzare delle geometrie complesse per analizzare i fatti. Spero che
converrete con me, se affermo che, in particolari condizioni fisiche, la
geometria di Minkowski pu� approssimarsi con quella euclidea. Inolte, per
quanto riguarda l'osservazione che mi � stata fatta circa l'uso della
geometria euclidea, laddove dovrebbe essere usata quella di Minkowski,
vorrei far notare che ponendo u=ict (i = unit� immaginaria; c = velocit�
della luce; t = tempo), il formalismo matematico che ne deriva dalla
geometria minkowskiana � identico a quello della geometria euclidea... anche
se i concetti fondamentali sono diversi.
Per fissare le idee, usiamo un diagramma sul piano. Inizialmente dobbiamo
fissare un vettore che rappresenti il tempo. Una volta definito questo
vettore, prendiamone un'altro ad esso ortogonale. La direzione di questi due
vettori determina il classico sistema di riferimento cartesiano. Normalmente
avremmo attribuito al secondo vettore la dimensione spaziale, ma in virt�
del ragionamento precedente, questa cosa non pu� essere fatta. Cerchiamo
allora di capire dove deve essere rappresentato il vettore "spazio",
affinch� il nostro diagramma sia congruente con la realt�.
Per fare questo ragioniamo nel seguente modo: iniziamo assegnando al secondo
vettore (quello ortogonale al tempo) la dimensione spaziale. In un diagramma
simile cerchiamo di attribuire un significato omogeneo a tutte le rette
passanti per l'orgine, in modo da poter capire anche il significato della
retta temporale e di quella ad essa ortogonale. La retta temporale �
associabile ad un osservatore fermo; la retta ad essa ortogonale, �
associabile ad un osservatore che si muove con velocit� infinita. Tutte le
rette intermedie, rappresentano le varie velocit� (comprese fra zero ed
infinto). In particolare ci interessa la retta associata alla velocit� della
luce, che per la sua particolarit�, � molto vicina all'ipotetico asse
spaziale (s). Le rette che sono comprese fra quella della luce e quella "s"
non hanno senso fisico, perch� rappresentano velocit� superiori a quelle
della luce. Attenzione: i punti (come giustamente mi aveva fatto notare
Mauro RICCARDI) hanno invece un senso fisico reale, e sono giustamente i
punti evento che sono al di fuori del cono di luce futuro. Essi, esistono
realmente... ma le rette, che invece sono associate alle velocit� degli
osservatori che si muoverebbero a velocit� superiori a quella della luce,
non hanno senso. Quindi, anche la retta ortogonale al tempo non ha senso!
Pertanto la retta associata alla velocit� della luce � in realt� il vero
spazio del diagramma. Abbiamo quindi un diagramma S-T in cui i due assi
coordinati, non sono ortogonali.
Tutti i punti del diagramma S-T (non ortogonali) esistono realmente... essi
sono punti evento, ed "hanno tutto il diritto di esistere" (come dice Mauro
RICCARDI).
La differenza sostanziale st� nel fatto che ora il tempo non suddivide pi�
lo spazio in parti uguali, per cui ora esiste una sostanziale differenza tra
passato e futuro... cosa che non esisteva nel classico diagramma S-T.
Ora a questo punto si pu� prendere questo schema ed applicargli tutte le
complicazioni geometriche che ci interessano, ivi compresa la geometria di
Minkowki.
E' da notare che la differenza che c'� tra il diagramma S-T ortogonale e
quello non ortogonale, � talmente piccola che per velocit� molto inferiori a
quella della luce, l'errore che si commette (nell'approssimarla ad
ortogonale) � praticamente trascurabile.

Spero di essere stato pi� chiaro; comunque per ogni strafalcione,
imprecisione o errata esposizione, sono a vostra completa disposizione.
Fatemi sapere che ne pensate... attendo le vostre risposte e i vostri
commenti.
Received on Wed Jul 28 1999 - 00:00:00 CEST